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數學可以救羅馬?!:20個數學世界裡的奇妙謎題
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  • 書已絕版已絕版,無法販售

內容簡介

◆暢銷科普作家伊恩‧史都華的神奇數學世界! ◆《大自然的數學遊戲》、《生物世界的數學遊戲》、《給青年數學家的信》作者又一力作! 纏在一起的電話線、下不完的棋、這樣綁那樣弄的鞋帶、怎麼切都大大小小的蛋糕……,20個生活裡的科學,數學天地神奇又迷人的謎題! 為什麼電話線總是打結? 一個木箱最多可以放進多少瓶牛奶? 怎麼綁鞋帶用到的鞋帶最短? 為什麼科學家說復活節是一個準晶體? 君士坦丁大帝如果懂得0與1程式設計,就可以挽救羅馬帝國的命運?! 還有,更重要的,怎樣切蛋糕才不會讓你的那一半比我的這一半大? 洗牌,洗牌,洗牌,洗牌……喔,又回到了起點,數學怎麼解釋這個撲克牌玩家的夢魘?為什麼只有極少數聰明的數學家,才能證明兩個肥皂泡泡連在一起應該變成什麼形狀?月球帝國與電子電路有什麼關係?最少需要幾種顏色才能為地圖著色? 在本書中,史都華帶領我們穿越腦力激盪的數學世界,經歷一場不凡的旅程。我們將邂逅二十個神奇的謎題――一些是嚴肅的實際應用,其他是即使最好的數學家也感到困惑的問題――全都十分迷人又詭詐多變。 史都華是廣受歡迎的數學科普作家,他揭露了沒完沒了的棋局的奇特奧祕、瘋狂閃爍的螢火蟲,當然還有如何切蛋糕最好的爭議。從鞋帶、肥皂泡到西爾賓斯基墊片三角形,他告訴我們數學的多樣性和力量,主題從圖形、機率和邏輯、拓撲學到準晶體,無所不包。 本書二十個章節,幾乎每一章均可獨立閱讀,揭示一個你從不知其存在的數學天地。

目錄

◎前言

◎第一章  你的那一半比我的這一半大!
◎第二章  廢除平均律
◎第三章  算術與舊鞋帶
◎第四章  悖論的迷失
◎第五章  把圓沙丁魚封進錫罐裡
◎第六章  下不完的棋局
◎第七章  「Quod」遊戲
◎第八章  零知識協定
◎第九章  月球帝國
◎第十章  帝國與電子
◎第十一章  復活式洗牌
◎第十二章  雙雙泡泡,辛苦又麻煩
◎第十三章  磚窯裡的交叉路線
◎第十四章  無嫉妒的分配
◎第十五章  瘋狂閃爍的螢火蟲
◎第十六章  為什麼電話線總是糾纏在一起?
◎第十七章  無所不在的西爾賓斯基墊片三角形
◎第十八章  捍衛羅馬帝國!
◎第十九章  分成三角形後帶走
◎第二十章  復活節是一個準晶體

◎圖片出處
◎延伸閱讀

序跋

前言


◎文/史都華

  偶爾,當我覺得異常輕鬆,思緒開始遊走時,我會好奇,如果每個人都像我一樣喜歡數學,這個世界會變成什麼光景呢。電視新聞會以最近的代數拓撲學(algebraic topology)理論來取代庸俗的政治醜聞,青少年會將數學理論排行榜下載到他們的iPod,而卡利普索(calypso)〔編注:千里達的民歌,也在加勒比群島東、南部演唱,歌詞常以詼諧的語調諷刺當地的政治和社會事件〕歌者(記得他們嗎?)會用吉他撥彈出「輔助定理三」的曲調……這倒提醒了我,1960年代末,民歌手凱利(Stan Kelly,現為凱利―布托〔Stan Kelly-Bootle〕,查看Google)在華威大學(Warwick University)攻讀數學碩士時,真的寫過這麼一首歌。歌曲是這麼開始的:

  輔助定理三,非常漂亮,而逆定理也很漂亮,

  不過只有上帝和費馬知道其中何者為真。


  總之,我一向認為數學是靈感和喜悅的來源。我知道對大多數人來說,數學只會觸動恐懼,而非樂趣,不過我發現自己實在無法認同這樣的觀點。理智上,我了解數學恐懼症廣布的幾項原因:當你希望透過自己的行事風格,以幾句行話和厚顏行徑擺脫麻煩時,再也沒有比一個必須絕對要求正確和精密的主題來得糟糕的事。但情感上,我發現自己很難理解,為什麼攸關我們所居世界的這麼一個活力十足,有著如此漫長和豐富的歷史,且充滿有史以來最傑出的人類智慧的主題,無法引起興趣,迷惑人心?

  另一方面,觀鳥人同樣無法理解為什麼其他人不能分享他們的熱情。「我的老天,那不是小鳳頭燕鷗笨蛋的求偶羽衣嗎?英國最後一隻紀錄有案的是1843年在斯凱島(Isle of Skye)發現的,那一隻部分躲在一個――噢,不好了,它只是尾巴沾有泥土的椋鳥。」沒有冒犯的意思――我蒐集石頭。「哇!真正的亞斯文(Aswan)花崗岩耶!」我們家堆滿了地球岩塊。

  大多數人認為「數學」這個詞就是習以為常的算術,這或許無可避免。如果你會做,以某種蠢笨的想法來說,它很有趣。如果你不會,它很可怕。更甚者,假若有人拿著一支大紅筆站在旁邊,等著你出點小錯,以便跳進來攪局的話,要對某些東西――無論是數學或觀鳥――感興趣絕非易事(只是一種比喻,卻再真不過)。畢竟,朋友間一、兩個小數點算什麼?但英國國民教育課程和小亨利的理解之間的鴻溝呢,數學的諸多樂趣似乎就在古老過時的方式中遺失殆盡。多可惜啊。

  我不是宣稱本書會對大眾的數學能力產生奇效,雖然我假設它或許可以(用哪種方式……啊,那又是另一回事了)。我試著在本書中做的是,說服那些不信邪的人。這本書是為了數學迷、數學狂熱者、積極熱愛數學的人,以及從玩樂中得到許多樂趣且始終保有一顆年輕的心的人而存在的。葛瑞爾(Spike Gerrell)可愛的漫畫強化了輕鬆的氣氛,並且完美表達討論的精神。

  然而,我的意圖絕對嚴肅認真。

  我原本想把這本書命名為《數學分心的武器》(Weapons of Math Distraction),這個書名對我來說有平衡嚴肅和輕鬆的作用,所以我可能得感謝行銷部門的否決。但現在這個蛋糕指向的標題也有危險性,你們有些人或許會想買這本書來獲得一些真正的烹調指導。我可不保證能做到:這是一本關於數學本質的謎題和遊戲的書,不是食譜。蛋糕只是波雷爾測度(Borel measure)的空間而已。

  嚴重偽裝成……一塊蛋糕。數學老師教我們的不是如何做蛋糕,而是如何平均分給任何數目的人。並且――這一點難多了――不會心生嫉妒。切蛋糕可以簡單地導入數學的分配理論。就像許多入門數學,也是專家戲稱的「玩具模式」那樣,它是從真實世界的東西中徹底簡化出來的。不過它能夠讓你好好思考一些關鍵議題。例如,它凸顯了下面的情況,就是為幾個競爭團體分配資源很容易,只要依他們不同的評價方式,讓他們都認為公平即可。   就像之前的書《遊戲、集合與數學》(Game, Set and Math)、《我不知道的另一種有趣的數學》(Another Fine Math You’ve Got Me Into)和《數學歇斯底里》(Math Hysteria)(後者和本書一樣是牛津大學出版社〔Oxford University Press〕出版),本書內容擷取自1987年至2001年間,我為《科學人》雜誌(Scientific American)及其外文譯本撰寫的一系列數學遊戲專欄。專欄部分做了些微的調整,所有已知的錯誤已經修正,一些數量不明的錯誤又加了進來,而讀者們的評論以「讀者迴響」為題,適切地置入章末。我回復了一些因為篇幅關係而未能出現在雜誌上的材料,所以這是一種「導演剪接(切法)」,我可以這麼說。主題從圖形(graph)到機率,從邏輯到極小曲面(minimal surface)〔編注:所有點的平均曲率(mean curvature)為0的曲面〕,從拓撲學到準晶體(quasicrystal)〔編注:狀態介於非結晶的玻璃態固體(特殊形態的金屬和其他礦石,以及普通玻璃),與具精確晶格的晶體之間光子的原子型物質〕。當然,少不了蛋糕的分配。它們泰半以娛樂價值,而非重要性作為抉擇的要件,所以請不要把內容想像成研究新領域當前活動的完整代表。

  然而,它的確反映了研究新領域當前的活動。切蛋糕這個熱門議題是悠久數學傳統的一部分――至少可回溯至三千五百年前的古巴比倫――一種從微不足道的東西中挖掘嚴肅議題的傳統。於是就像本書一樣,當你讀到「為什麼電話線老纏在一起?」時,題目本身不只是用來整理如老鼠巢穴般的電話線圈。最好的數學有一種好奇的本質,所以某個簡單的問題衍生出的想法才能解釋其他許多問題。在真實世界中,許多東西扭轉和旋轉:電話線、植物卷鬚、DNA分子、海底電纜。這四種扭轉和旋轉的數學用途,有著許多截然不同的基本特性:如果電信工程師拿走你的電話線,換上一截旋花植物,你一定會大為光火。不過它們也共同具有一個很有用的特性:一個簡單的數學模式在它們身上發光發熱。它或許無法回答每個你想回答的問題,它或許忽略掉一些重要的實質議題,但一個簡單的模式一旦開啟了數學分析的大門,那麼更複雜、更精細的模式就能以此為基礎發展出來。

  在本書中,我旨在利用抽象思維和現實世界的混合體,激發各種數學構想。對我來說,收穫不在於實際解決現實世界的問題。主要的收穫是新的數學。少少幾頁不可能發展出數學上的重大用途,但對任何有足夠想像力的人來說,可以欣賞到一個數學構想如何從一種東西出發,出乎意料地應用於一種不同的東西。本書中的最佳範例或許是「帝國」與電子電路(electronic circuit)的連結。一個關於地球和月球的地圖著色奇怪假設謎題(第九章),可實際應用來測試電子電路板瑕疵這個重要問題(第十章)。重點是,數學家一開始是從微不足道的來源(雖然不像這裡舉的例子那麼微不足道),偶然得出中心構想,進而發現它的用途非同小可。

  還有另一種方式。第十五章受到一些亞洲螢火蟲引人注目的行為啟發,那裡的雄性螢火蟲同步發出閃爍的光–—或許是為了改善牠們吸引雌性的集體能力,而非個別能力。為什麼閃爍會同步呢?這裡重點出現了,數學指出問題所在並提供至少部分解答,而後者又更清楚地告訴我們,相同的數學可以應用在其他許多關於同步的問題。我的方法是將整件事轉化成你可以玩的方格板遊戲。繞個彎來說:關於那個遊戲一些看似簡單的問題尚未獲得解答。某種意義來說,我們對實際應用的了解,遠勝於簡單模式本身。

  除了極少數例外,本書每一章均可獨立成篇。你可以從任何地方切入,如果卡住了,不管原因為何,都可以放棄那一章,改讀其他章節。你的獲益是――我宣稱――充分了解數學主題的寬廣,以及可以比在學校學到的多出多少,對數學的廣泛用途感到訝異,還有將整個主題整合成單一、驚喜有力的一套東西的驚奇跨領域連結。所有這一切將透過解謎和玩遊戲來達成。

  還有,更重要的是,藉由多動腦來完成。

  永遠不要低估玩耍的力量。

內文試閱

第一章 你的那一半比我的這一半大!


如果兩個人想毫無爭議地分享一塊蛋糕,那麼解決辦法向來是「我切你選」。如果多於兩個人想分這塊蛋糕,問題就複雜多了,而且人愈多愈難處理。除非你用一把慢慢移動的刀子,抽絲剝繭切開那些難處……和那塊蛋糕。

  一個大塊頭和一個小個子坐在某列火車的餐車車廂,兩人都點了魚。當侍者上菜時,竟然是一大一小的魚。侍者先端給大塊頭選,他馬上搶了那條大的;小個子抱怨說,這實在太不禮貌了。

  「那麼,如果讓你先選,你會怎麼做呢?」大塊頭以讓人惱怒的語氣問道。

  「我會很有禮貌,選小的那一條。」小個子調侃地回答。

  「那好,這就對了,小的歸你啦!」大塊頭回敬道。

  就如這個老笑話所言,不同的人在不同環境下會有不同的想法,有些人總是難以滿足。過去五十年間,數學家一直在這類公平分配的問題中掙扎斡旋――通常用蛋糕而不是魚來說明――直到現在總算有了一個周延且相當深入的理論。羅伯森(Jack Robertson)和韋伯(William Webb)引人入勝的著作《切蛋糕分法》(Cake Cutting Algorithms)(詳見書末「延伸閱讀」)中,對這類問題做了全面的探討。在本章和第十四章,我們將一窺這些看似簡單,而且讓大家都滿意他們分得的那份蛋糕的分法。

  最簡單的情形是只有兩個人來分,他們――一再重申――想分享一塊蛋糕,而且要能滿足於自己公平分到的那一份。這裡所謂的「公平」是指「比評估的一半還多」,儘管兩位接受者對蛋糕成分的評價可能不盡相同。例如,愛麗絲可能喜歡櫻桃,而鮑伯偏愛糖霜。更令人玩味的現象之一是,在切蛋糕理論中,如果接受者對蛋糕部位的喜好不同,分蛋糕的工作比較容易。這一點也不讓人意外,因為我們可以分給鮑伯糖霜的部分,把櫻桃那個部分給愛麗絲,然後得到兩全其美的結果。如果兩人都喜歡糖霜,問題的難度就變高了。

  如果只有兩位接受者,問題還好解決。這種「愛麗絲切,鮑伯選」的解決方式,已經運作了兩千八百年!兩位參與者之所以認為這種方式還算公平,某種意義上是因為他們沒有抱怨結果的理由。如果愛麗絲不喜歡鮑伯選剩的部分,只能怪她自己分蛋糕的時候不夠謹慎,沒好好地(根據自己的評估)平分。如果鮑伯不喜歡他的部分,是他自己做了錯誤的選擇。

  當參與分配的人增加到三位,整個情況開始變得有趣多了。湯姆、迪克和哈利想分一塊蛋糕,讓彼此都滿意自己分到的至少1/3塊蛋糕,憑藉各自的價值判斷來決定。順道說明,在所有這類問題中,都假設蛋糕可以無限分割,雖然在理論上,蛋糕多是由有價值的「原子」組成――一個至少有一位接受者認為它是非0值(non-zero value)的點。不過為了簡化,我會假設沒有「原子」存在。羅伯森和韋伯藉由分析一個似是而非的答案來處理這個變化,推演過程如下:

  步驟一:湯姆把蛋糕切成X和W兩塊,他認為X有1/3這麼大,W是2/3大。

  步驟二:迪克把W切成Y和Z兩塊,他認為兩塊各占W的1/2。

  步驟三:哈利從X、Y和Z中選擇喜歡的一塊。然後湯姆從選剩的兩塊中挑選。

  最後剩下的那一塊是迪克的。

  這種分法公平嗎?

  顯然哈利會很滿意,因為他有優先選擇權。湯姆也很滿意,原因稍微複雜了點。如果哈利選擇X,則湯姆可以從Y和Z中選擇一塊他認為比較有價值的(如果他看來兩塊等值,就隨便挑一塊)。既然他認為它們總值是2/3,必定覺得其中至少有一塊值1/3。另一方面,如果哈利選擇了Y或Z,則湯姆可以選擇X。

  然而,迪克可能不會滿意結果。如果他一開始就不贊同湯姆的第一次切法,可能認為W不值2/3,這意味著能讓他滿意的只有X那塊。但如果哈利選擇了Y,湯姆選擇了X,那麼迪克只剩Z可拿――這可不是他想要的。

  於是上述分法是不公平的。1944年,波蘭數學家團體成員之一的史坦豪斯(Hugo Steinhaus),率先提出三人公平分配蛋糕的正確解答。這個團體的成員定期在利沃夫(Lvov)一家咖啡館聚會。史坦豪斯的方法應用了一種稱為「修減法」(trimming)的手法。

  步驟一:湯姆把蛋糕切成X和W兩塊,他認為X有1/3這麼大,W是2/3大。

  步驟二:他把X交給迪克修整,如果迪克認為它的大小多於1/3,那麼他可以將這塊蛋糕修成他認為的1/3;否則原封不動。我們稱這塊得到的蛋糕為X*:它不是等於X,就是小於X。

  步驟三:迪克把X*交給哈利,讓哈利決定要不要這塊。

  步驟四:(a)如果哈利接受了X*,那麼湯姆和迪克將剩下的蛋糕――W加上任何從X修減下來的部分――堆成單一一堆(糊糊的)蛋糕。他們用它來玩「我切你選」的遊戲。(b)如果哈利不接受X*,迪克修減過X,則迪克拿X*,湯姆和哈利玩剩下的蛋糕的「我切你選」。(c)如果哈利不接受X*,迪克沒有修減過X,則湯姆拿X,迪克和哈利玩剩下的蛋糕的「我切你選」。   這是一項解答――至於它的邏輯,就交由你去證明。基本上,任何不滿意所得那塊的人一定是一開始做了錯誤的選擇,抑或切割時沒有仔細評估。那也只能怪自己了。

  1961年,杜賓斯(Leonard Dubins)和史班尼爾(Edwin Spanier)提出一個迥然不同的解答,運用一把移動刀。把蛋糕擺在桌上,用一把刀從蛋糕的最左邊開始,平穩地逐步橫過蛋糕。決定下刀時,刀子左邊部分的蛋糕稱為L。當L達到湯姆、迪克和哈利各自認為的1/3大小時,依規定他們得馬上喊「停!」。第一個喊停的人得到蛋糕L,其餘兩人要嘛以「我切你選」的方式分蛋糕,要嘛再次移動刀子,直到某人認為蛋糕值達1/2時馬上喊停,得到此份蛋糕(想想看,如果兩人同時喊停,該怎麼辦呢?)。

  這種分法的最大特色是,它可以輕易擴及n位分配者。移動刀子橫過蛋糕,並規定每一位分配者依各自的評價,在L達到1/n時馬上喊停。第一個喊停的人得到蛋糕L,而其餘n-1個參與者針對剩下的蛋糕重複上述程序,當然這次喊停時的蛋糕評價值為1/(n-1)……依此類推。

  我向來不特別偏愛移動刀的分法――我想是因為這牽涉到參與者對時間差的反應能力。避免這種爭論的最佳方法,或許是把刀子的移動速度放慢。非常慢。或者,對等地,假設所有參與者都有超快的反應能力。

  讓我們稱第一種解答為「固定刀」分法,第二種為「移動刀」分法。運用於三人參與的固定刀分法,也能輕易擴及n位參與者。當湯姆正獨自坐著凝視「他的」蛋糕時,迪克出現了,想分塊蛋糕。於是湯姆把蛋糕切成他認為的兩等份,而迪克選了其中一塊。當他們正要開始享用時,哈利來了,也要求平分蛋糕。湯姆和迪克各自將自己的蛋糕切成三等份,他們認為每一份是等值的。哈利從湯姆和迪克的蛋糕中各選一份。為什麼這種「連續式配對」的分法行得通,道理並不難懂,能擴大運用到任何數目的參與者的箇中原因相對容易明白。修減法也可以擴大運用至n個參與者,但必須在座每一位參與者都有機會修減一塊蛋糕到他能接受的結果,如果再沒有其他人想修減,那麼他就得到這塊蛋糕。

  當分蛋糕的人很多,連續式配對的分法需要切非常多刀。何種分法才能切最少刀呢?移動刀分法需要切n-1刀,以得到n塊蛋糕,這就是你能得到的最小數目。但固定刀分法的下刀次數就沒那麼容易計算了。假設有n個人,一般來說用修減式分法要切(n²-n)/2次。連續式配對分法需要n!-1次,這裡n!=n(n-1)(n-2)…3.2.1就是n的階乘(factorial)。這個數目遠大於修減式分法需要的次數(n=2時除外)。

  然而,修減法不是最好的方法。較有效率的「分割與獲得」(divide and conquer)分法,進行方式大致如下:試著一刀切開蛋糕,讓約半數的人願意獲得一塊公平分配的蛋糕,而其他人願意獲得另一塊。然後把相同的模式重複運用在兩塊分開來的子蛋糕。這種分法所需的切割次數大約是n log2 n。正確的公式為nk-2k+1,這裡的k是一單一整數,而2k-1<n≦2k。這大概是你能運用的最佳方式了。

  這些概念最終不只是為了好玩而已。現實生活中常見的重要課題是,以何種方式來分配資產,讓所有參與分配的人覺得公平。領土和商業利益的協商就是例子。原則上,切蛋糕問題的解決方法可以應用於這類情況。的確,當德國戰敗後,由同盟國(美國、英國、法國)和蘇聯共同瓜分託管,第一次嘗試分割後剩下柏林,然後柏林再做另一次瓜分,所以協商者直覺地用了類似的分法。某種相當類似的處理方式造成今日以色列和巴勒斯坦間的緊張關係,搶著爭食主要的耶路撒冷「廚餘」和另一個爭議的焦點西岸(West Bank)。數學上的公平分配能在協商時幫上忙嗎?非常慶幸地,我們活在一個有足夠理性來處理這類事情的世界,但政治往往不是這麼回事。特別是,人們對事情的價值判斷很容易在達成暫時性的協議之後改變;如果這樣,我們之前的討論就等於白談了。

  不過,還是先以理性的方式試試看,說不定行得通呢。

讀者迴響

  我收到許多關於切蛋糕分法的信件,內容從我討論的切法的簡化到嶄新的實質研究都有。有些讀者試圖消除我對「移動刀」分法隱約的不安感。我擔心的是反應時間的快慢。避免這個問題的建議是――經過一些書信往來後,稍微做了修改――利用參與者在蛋糕(或比例模型〔scale model〕)上做記號的方式,代替移動刀。首先,選定一個方向(假設是北南向),然後輪流要求n位參與者中的每一個人,在蛋糕上最西邊的部分畫一條北南向的線,在線以西的蛋糕是他們想要的(也就是說,他們估計線左邊的那塊蛋糕值1/n)。誰的線在最左邊,誰就切下那一小塊拿走,並退出分配。以同樣的方式繼續執行下去。於是由西往東的依序切割取代了計時,而相同的作法適用於所有移動刀分法。

  如此看來,我對移動刀分法的保留是多餘的。可是沒多久,紐約大學的布姆斯(Steven Brams)――這類問題的專家――撰文指出,我先前的憂慮不是那麼容易去除。布姆斯、泰勒(Alan D. Taylor)和茲維克(William S. Zwicker)分析移動刀設計的兩篇論文,特別列於「延伸閱讀」。他們的第二篇論文顯示,在有四位參與者的一個無猜忌分配移動刀步驟中,最多只需要切十一刀。

  然而,針對四位參與者,並限定切割次數(不管次數多麼多)的離散處理方式尚未出現,或許這種方式根本不存在。顯然他們不能以蛋糕上有想像的「記號」的方式,做出這樣離散的設計。所以用「記號」的方式來簡化移動刀的設計,適用於某些情況――但不是所有情況。

第二十章 復活節是一個準晶體


復活節落在春分當天或春分之後出現第一個月圓(但不是那一天)後的第一個星期天,春分依慣例是3月21日,甚至可能不是這一天……還有那不是真的月亮,而是教會定義的……噢,管它那麼多,只要知道耶誕節是哪一天就行了。

  我為《科學人》雜誌所寫的第一個娛樂性數學專欄,就是關於費馬的耶誕節定理。隨著復活節即將到來,利用我的第九十六篇,也是最後一篇專欄來寫復活節似乎是唯一合適的選擇。本章就是根據那篇最後的專欄寫就的。

  耶誕節總是在12月25日,所以算出耶誕節的日期毫無困難……但復活節就完全不是那麼回事了。復活節可以是3月22日至4月25日間的任何一天,其間長達五個星期。早期的基督教會設計了自己的方法,計算復活節的日期。

  至於數學家的行動,要從公認歷史上最偉大的數學家高斯,發明了一套只需要知道相關年分的簡單規則開始。不幸的是,高斯的研究有一個小失誤,所以根據他的規則算出4200年的復活節是4月13日,正確日期應該是4月20日。他親自在自己那份已出版的論文上更正了這個錯誤。

  1876年,一個匿名的美國人在科學期刊《自然》雜誌,提出第一個正確的純粹數學程序。1965年,歐拜恩(Thomas H. O’Beirne)在其著作《謎題與悖論》(Puzzles and Paradoxes)中發表了兩則這類程序,下面我會描述其中一則。較近期的是,晶體學家麥凱(Alan MacKay,倫敦大學學院)注意到,復活節是一個時間準晶體(time-quasicrystal)――一種謎樣的說法,稍後我也會解釋。

  復活節日期逐年變化有一些歷史因素。首先,它必須在星期天,因為耶穌在星期五被釘在十字架上,然後星期天復活。它和猶太人逾越節的時間的關聯,意味著復活節應該與逾越節密切相關,逾越節的慶祝活動是在春天第一個月圓開始的一星期。

  因此,復活節的日期與幾個不同的天文週期有關,這也是真正困難之處。朔望月(lunar month)〔編注:月亮從朔到朔或從望到望的週期,朔是農曆每月初1,看不見月亮;望是農曆每月15、16或17日,滿月〕現在約29.53天,而太陽年(solar year)〔編注:地球在公轉軌道上對春分點運行一周的時間〕是365.24天。也就是一太陽年有12.37個朔望月,這種關係多不方便啊,因為它不是一個整數。換算一下,兩百三十五個朔望月非常接近十九個太陽年,而教會確定復活節日期的系統利用了這種巧合。

  325年的尼西亞大公會議(Council of Nicaea)決議,復活節應該落在春分當天或春分之後出現第一個月圓(但不是那一天)後的第一個星期天。春分是3月晝夜等長那一天:9月秋分時晝夜再次變得等長。此外,依慣例春分會在3月21日。然而,正如我們將看到的,這只是複雜歷史中一個關鍵的事件。閏年有時會讓真正的春分落在3月22日:這種可能性可以忽略。當時是以儒略曆(Julian calendar)計年,每四年有一個閏年;要經過整整十九個儒略年(一儒略年有365.25天)才會再有月圓。換算成慣用的朔望月曆法,這段期間等於兩百三十五個二十九天或三十天的朔望月(有時在閏年是三十一天)。這個週期剛好每七十六年重複一次――四個十九年的週期,經過這段時間,閏年的模式會重複。這裡的數學原理是,兩個不同整數長度的週期在兩者都回到它們原來的位置之前,必須重複的次數等於兩者的最小公倍數,而76是19和4的最小公倍數。

  這個十九年的期間稱為月運週期(lunar cycle),而在月運週期中是以所謂黃金數來表示年的位置,黃金數從1開始到19,然後再重複從1開始。復活節的日期是以五百三十二年的週期重複。

  這是一個井然有序的系統,但不幸的是,數學沒有準確遵循朔望月和太陽年的真正長度,而且隨著時間過去,曆法開始與季節脫離關係(著名作家但丁〔Dante Alighieri〕指出,最終1月將不再是冬天的一部分)。討論持續超過千年,直到1582年,教宗格列高利十三世(Pope Gregory XIII)改革了民曆,刪除100的倍數的閏年,只留下400的倍數的閏年(2000年就是一例)。為了改正先前與季節的脫勾,刪除了該年10月4日至15日之間的十天。

  格列高利接受天文學家克拉維烏斯(Clavius)的建議,很少相關現象能逃過克拉維烏斯的注意。除了黃金數,教會的計算程序包括一個稱為epact的第二計量,它是1到30之間的一個整數,以日為單位,度量月亮的假定年齡(始於0=30=新月),緊接著相關年分的1月1日起算。每個世紀伊始,epact的週期都會修正,但黃金數的週期毫無差錯地繼續下去。擇定epact等於改正了儒略曆的錯誤,也修正了兩百三十五個朔望月並未剛好等於十九個太陽年的事實。這類改正沒有發生在1900年、2000年或2001年,但2002年就派得上用場。

  這個系統是折衷方案。天文學上真正的春分最早可能出現在3月19日――2096年會發生――或在非常晚的3月21日,1903年便是如此。1845年和1923年,在世界上多數地區,天文月圓發生復活節的星期天,而在東經地區則發生在復活節後的星期一。1744年,有一次月圓發生在復活節星期天之前八天的星期六,只有那些在極西經的地區月圓發生在星期五。

  真正的月亮不會屈從於教會公約。

  為了完成它的計算,教會利用一套字母系統,以ABCDEFG代表一星期七天,以1月1日為A開始。每年都有一個主日字母(dominical letter),視哪個字母代表星期天〔編注:若1月1日是星期天,該年的主日字母就是A;若1月2日是星期天,該年的主日字母是B,依此類推〕。因為所有其他計算法都忽略閏年的2月29日(就這些目的而言,它視同3月1日),在閏年會有兩個主日字母――一個字母用於1月和2月,另一個字母用於其餘月分。利用所有這些資訊,就可能為任一給定年分列出相關年曆表,並找出復活節的日期。

  歐拜恩的方法納入各種週期,並調整為一個算術組合,現在我會說明這種方法,把它運用在2001年的情況。   讓我們把格列高利曆的年分設為x。現在算出下面十個計算程序(很容易寫成電腦程式):

  1.x除以19,得到一個商(予以忽略)和一個餘數A。

  2.x除以100,得到一個商B和一個餘數C。

  3.x除以4,得到一個商D和一個餘數E。

  4.8B+13除以25,得到一個商G和一個餘數(予以忽略)。

  5.19A+B-D-G+15除以30,得到一個商(予以忽略)和一個餘數H。

  6.A+11H除以319,得到一個商M和一個餘數(予以忽略)。

  7.C除以4,得到一個商J和一個餘數K。

  8.2E+J-K-H+M+32除以7,得到一個商(予以忽略)和一個餘數L。

  9.H-M+L+90除以25,得到一個商N和一個餘數(予以忽略)。

  10.H-M+L+N+19除以32,得到一個商(予以忽略)和一個餘數P。

  則復活節的星期天是第N月的第P天(3=3月,4=4月)。

  此外:黃金數是A+1,而epact是23-H或53-H中介於0與30之間者。2E+2J-K除以7,然後取其餘數,就能得到主日字母。然後0=A,1=B,2=C,依此類推。

  我們用x=2001試算這個方法。則(1)A=6;(2)B=20,C=1;(3)D=5,E=0;(4)G=6;(5)H=18;(6)M=0;(7)J=0,K=1;(8)L=6;(9)N=4;(10)P=15。所以2001年的復活節是4月15日。

  大致說來,這十個步驟有下列作用:

  1.找出該年在19-年週期中的位置(事實上,A+1就是這一年的黃金數)。

  2.格列高利曆的閏年規則:每個世紀年(100的倍數年)B增加1。

  3.D只在世紀年才會增加,E代表是閏年的世紀年數。

  4.G是根據epact做的月分更正。

  5.H相當於epact(23-H或53-H中介於0與30之間者)。

  6.M處理關於epact的一個特殊情況。事實上,M=0,除非H=29(當M=1且epact是24),或H=28且A>10(又當M=1)。

  7.開始計算復活節月圓的星期天。處理一般閏年的問題。

  8.從epact導出月圓的日期。

  9.算出復活節的月分。

  10.算出復活節在那個月的日期。

    一般來說,復活節的日期會逐年晚上八天,但有時也會因為各種影響(閏年、月亮的週期,諸如此類)而提前,以一種看似不規則卻其實遵循上述算術程序的方式進行。麥凱了解這種近規則的(near-regular)後退情況應該用一個圖表顯示出來,圖表呈現年分與復活節日期的對應(圖65)。結果近乎一個規則晶格(regular lattice),有如一個晶體的原子晶格(atomic lattice)(麥凱是晶體學家)。然而,這個曆法的特性讓日期與晶格相較略有差異,所以這個圖式是一個準晶體

65  1950年至2010年的復活節準晶體

左座標由上到下→
4月25日
4月20日
4月15日
4月10日
4月5日
3月31日
3月26日
3月21日

  準晶體不如晶體(它們的原子形成一個精準的晶格)那麼規則,但決不隨意。
準晶體的發現與在平面上鋪磁磚的奇特方式有關,而這項發現來自牛津大學物理學家彭羅斯(Roger Penrose)。鋪磁磚時用了兩種形狀的磁磚,剛好鋪滿平面,但沒有週期性地重複同樣的圖樣。準晶體的原子有同樣的準規則性(almost regularity)。

  由於使用格列高利曆法,復活節日期的週期要在整整五百七十萬年之後才會重複:這是70,499,183個朔望月和2,081,882,250天。雖然遠在第一次重複之前,這個曆法就會脫離相關的天文事實。無論如何,月和日的長度正緩緩改變,主要是因為潮汐摩擦力(tidal friction)的關係。

  其他因素也可能造成改變。1928年,英國國會做了一項決議,如果相關宗教權威人士同意,可以把復活節的日期固定在4月第二個星期六之後的第一個星期天,日後不會再有爭端。果真如此,未來復活節或許會好算多了。儘管在此之前,它是一個天文週期整數近似值的絕佳範例,具足了本身有趣的幾何解釋。而你可以編寫復活節規則的公式,然後找出解答,例如1,000,000年的復活節是哪一天呢?相信一定樂趣十足。
 
〔答案:4月16日,和2006年一樣。〕

作者資料

伊恩・史都華(Ian Stewart)

英國華威大學(University of Warwick)數學榮譽教授、英國皇家學會院士,暢銷書《數學萬花筒》(Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities)作者。擅長以簡潔清楚且風趣的方式介紹數學,近期著作包括《學數學,弄懂這39個數字就對了》(Incredible Numbers)、《改變世界的17個方程式》(商周,2013)。 史都華曾獲法拉第獎(Michael Faraday Medal)。他與Profile Books、Touch Press一同研發的應用程式「Incredible Numbers」於2014年上架。並於2015年獲頒美國數學協會(American Mathematical Association)的歐拉數學著作獎(Euler Book Prize)。

基本資料

作者:伊恩・史都華(Ian Stewart) 譯者:陳品秀 出版社:臉譜 書系:科普漫遊1 出版日期:2009-11-09 ISBN:9789862350683 城邦書號:FQ1019 規格:膠裝 / 單色 / 264頁 / 14.8cm×21cm
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