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數學,為什麼是現在這樣子?:一門不教公式,只講故事的數學課
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  • 數學,為什麼是現在這樣子?:一門不教公式,只講故事的數學課

  • 作者:安.魯尼(Anne Rooney)
  • 出版社:臉譜
  • 出版日期:2013-02-27
  • 定價:360元

內容簡介

上完這門課,從此數學在你眼中不一樣! 為什麼9再加1就要進位? 全世界通用的阿拉伯數字怎麼來? 誰規定+ - × ÷這樣寫? 你也許出了校門就忘記公式怎麼用,但幫你把各種數學知識串連起來的許多故事,精采又奇妙,讓你聽過就想分享! 「雲不是球形,山不是錐形,海岸線不是圓形,樹皮並不平滑,閃電的行進也不是一直線。」 ──曼德博 我們都學過數學,但卻很少有機會從故事的角度來重新認識它。 打從人類開始群居、慢慢發展出穩定的生活型態以來,許多有趣、酷炫的數學故事也開始在不同時空裡發生,互相交錯。今日的數學樣貌是千萬年來的人類智慧積累而成的,我們學習了很多「當代的數學」,卻往往忽略了時間軸上那些有趣的故事。 也許你不一定想知道複雜形狀的面積該怎麼計算,但是無數問題和解答如何不斷碰撞、演繹而來的故事要是錯過就太可惜了;也許你聽過「牛頓發明微積分」的說法,然而所謂「發明」並非憑空生出、靈光乍現的傑作,從「無」到「被發明」中間的知識缺口,比微積分的公式更迷人;也許你知道阿基米德提出了「無窮大」的概念,把人類的數字概念往前推進了一大步,但向上追溯數字的源頭,這還得從獵人與長毛象的故事說起…… 數學的發展是連續而且美麗的,補足了這一塊迷人的故事拼圖,才更能了解數學的全貌。 【專業審訂】 ◎洪萬生(臺灣師範大學數學系退休教授) 【口碑推薦】 ◎任維勇(北一女中數學科教師) ◎陳記住(資深雲端數理課程教師)

目錄

◎前言 數字的魔術

◎第一章 數字的起源
數字從哪裡來? ● 數字與進位 ● 更多的數字,有大有小

◎第二章 數字的實際運用
兩兩一組 ● 特殊的數字和數列 ● 不能說的數字

◎第三章 事物的形狀
測量每件事物 ● 早期幾何學 ● 三角學

◎第四章 圓圓不絕
曲線、圓和圓錐曲線 ● 立體幾何 ● 看見世界 ● 其他的世界

◎第五章 神奇的公式
古代世界中的代數 ● 代數的誕生 ● 寫下方程式
代數的時代 ● 這世界,永遠都不夠

◎第六章 掌握無限
與無限共處 ● 微積分的崛起 ● 不只微積分

◎第七章 數字的用途和娛樂
高興點!一切可能從未發生 ● 樣本和統計學 ● 統計數學

◎第八章 數字的毀滅
集合論 ● 愈漸模糊

◎第九章 證明吧
問題與證明 ● 合乎邏輯 ● 我們到底在談論什麼?

內文試閱

第一章 數字的起源


四隻長毛象或更多長毛象?

  想像一個原始人正看著一群可能的午餐──水牛,或是毛茸茸的長毛象。這群獵物數量龐大,而獵人既沒數字系統的概念也不會數數,他只知道,不管數量為何,落單的長毛象比較容易下手,而且如果有更多的夥伴,這項狩獵任務會變得更簡單、更安全。在「1」與「多於1」之間、「很多」和「很少」之間有明顯的差別,而這並非數數得來的。

  在某些情況下,量化額外的長毛象或額外所需的狩獵人力是會有幫助的,但精確的數目仍非絕對必要,除非獵人想較量彼此的狩獵能力。

嘿!計算

  接著,長毛象獵人把他們的牲畜安置妥當。當人們開始圈養動物時,就需要一種記錄方式,以檢視是否所有的綿羊、山羊、犛牛、豬都安全待在圍欄內,最簡單的方法是使用符木(tally)作為記錄,將每一隻動物對應為一個記號或一顆石頭。

  這套方法不需要計數便能確認是否少了任何一隻動物,就如同我們可以一眼看出餐桌上一百個用餐位置是否都有用餐的人。此種一對一的對應方式人類在幼年便已習得,小孩子會將幾何形狀的積木放進形狀相應的洞口,或將玩具熊跟床配對等等,這是人類很早就領悟到的集合論基礎:一組物件能夠和另外一組物件做比較。如此一來,我們不需要數目的概念就能簡單處理集合問題,所以早期的農夫不需要計算,就能把卵石從這一堆搬移到另一堆。

  對於記錄物件數目的需要促使最早的符號─即文字書寫的前身─出現。考古學家在捷克發現一根有三萬年歷史的狼骨,上面有刻痕,而且刻痕顯然為計數符號,這也是目前所知最早的數學物件。

從二到二的性質

  能用來計算羊群數目的符木條(或卵石堆)亦能用做其他用途。如果手上有30 個代表綿羊的籌碼, 他們也能用以表示30 隻山羊、30 條魚或30 天,這些籌碼可能很早就被用來計算時間,例如小孩出生前的月數或天數,或從播種到收成的時間。當人們領悟到「30」的概念可以在物體間轉移並可獨立存在,這便預示了數目概念的來臨。人們不僅知道4 顆蘋果可以以1 人2 顆的方式分給2個人,更發現任何數量為4 個的物件都可以平分成2 組,每組2 個─確切而言,4「就是」2 個2。

  在此階段,計數已不只是為了清點數量,而且每個數目都需要一個名稱。

第二章 數字的實際運用


不能說的數字

  對數字下達禁令這件事聽起來也許很怪,但是已經發生了幾千年,且至今仍有此事。有些數被認為太難或太危險以致無法得到贊同,而被統治者或數學家放逐,但是,一個被禁的數不可能真正離開,它只是暫時潛入地下而已。

畢達哥拉斯數的淨化

  古代希臘數學家畢達哥拉斯不認同無理數,而且在他的學校對負數下禁令。(無理數指的是無法以分數表示的數,所以0.75是有理數,因為它等於3∕4,但是圓周率π就是無理數。)畢達哥拉斯應該要知道這項禁令會引起許多問題,他的定理讓我們能從直角三角形的兩邊長算出第三邊長,但假設只承認有理數,就會立刻出問題,因為當直角三角形的兩邊長為1,其斜邊長便會是無理數 √2 ≒ 1.414。

  畢達哥拉斯無法以邏輯方法證明無理數不存在,但是,當希帕索斯(Hippasus ofMetapontum, 約生於西元前五世紀)證明出√2 是無理數,並且與畢達哥拉斯辯駁無理數的存在時,據說他因此被淹死,為畢達哥拉斯所害。根據傳說,希帕索斯在船上展示他的發現,這個不明智之舉讓畢達哥拉斯將他拋出船外。

  畢達哥拉斯對無理數的禁令是基於他的美學與哲學觀點。後來,基於政治、經濟和社會等等各種理由,後人也設法將某些數字或某些類型的數字宣布為不合法。

阿拉伯人v.s. 羅馬人

  中世紀時期,歐洲對印度-阿拉伯數碼的傳入相當抗拒,但是此一新的數字系統能讓算術變得更容易,這使印度-阿拉伯數碼具有吸引力。印度-阿拉伯數碼使計算變得大眾化,但因為有一部分人希望繼續把持數字計算的使用,以作為精英份子的特別工具,因此使得這套數字系統被妖魔化。如果數學知識變得普及,權力的來源就會喪失,天主教會想藉由對數字的掌控來左右教育,並基於宗教立場反對從伊斯蘭世界來的數字系統,在當時,以算盤來研究數學的數學家是受到教會保護的。反對印度-阿拉伯數碼普及化的聲浪是如此強烈,謠傳當時使用它們的人甚至被當成異教徒燒死在火刑柱上,然而,商人與會計師都想要使用這個新的數字系統,因為那會使他們工作起來更方便,那些以印度-阿拉伯數碼來作運算的演算家(algorist)與那些使用算盤和羅馬數字的算盤家(abacist)交戰了好幾世紀,直到歐洲印刷術的出現,使宗教的管控力量再也無法阻攔算術方法的傳播。

666:獸名數目

  許多宗教非常依賴數字象徵符號(number symbolism),並使用特殊的數字方法來解開或藏匿祕密。早期的基督教,羅馬人使用「太陽的幻方」(the Magic Square of the Sun)當作護身符,此幻方是在6×6的正方形中將1到36的數字排放進去,使得每一列、每一行與對角線相加都是111,且全部的數字總和為666。教會禁止人們使用這個數字,因為666代表獸名數目(the Number of the Beast),在《啟示錄》(the Book of Revelation)中被視為上帝的敵人,使用此幻方者會被處以死刑。

向負數說不

  文藝復興時期歐洲不認可負數,數學問題的解答如果包含負數通常會被忽略,雖然早期的中國和印度數學家已經用負債的概念來解釋負數的用途,但歐洲的數學家們依然繼續陷於「該不該接納負數」的掙扎中,例如邁克爾 • 斯迪菲爾(見第56 頁)把小於零的數稱為「荒謬的數」(absurd numbers)。法國數學家阿爾伯特 • 紀拉德(Albert Girard, 1595-1632)可能是第一個完全接受解答中有負數的西方學者,但直到十九世紀早期才出現負數的運算基本原則。

危險的數字

  666 不是唯一被妖魔化的數字,在中國,使用天安門事件的日期(8964,一九八九年六月四日)當作密碼、身分認證碼或以任何其他可能連結到此事件的形式出現,都是違法的(以自然數列為順序數數時除外)。

  在美國,有個十六進位數(有32 位數)取得「不合法數字」的身分,它是將高解析度的DVD 加密的關鍵,因此就技術層面而言,將它公布是違法的(因為藉由適當的裝置,它能用來破解加密的DVD)。先進存取控制系統(Advanced Access Content System, AACS)宣稱,這個數字屬於版權欺詐設備,而擁有版權欺詐設備違反了美國於一九九八年通過的〈數位千禧年著作權法案〉(Digital Millennium Copyright Act),然而,在它被揭露的瞬間,這個「祕密」數字便在300,000 個網站上公開,試圖從公開領域將它移除顯然徒勞無功。

  AACS 也宣稱他們有許多用於加密的數字的所有權,但是不肯說出是哪些數字(這些數字之所以有用就是因為它們是祕密)。這些「特別數」的特別之處在於它們一點都不特別,因為它們是亂數產生的。但想也知道,對數字有「所有權」並禁止他人知道或使用,這件事本身能引來多少反抗,許多電腦狂熱者因此爭先恐後宣布自己所擁有的號碼,並不准其他人使用,以此來報復並嘲笑AACS。

第三章 事物的形狀


土地問題

  早在有文字記載以前,先民就已經解決了許多興蓋建築物時必須處理的幾何問題。蘇美人、巴比倫人和埃及人對於計算平面圖形與立體物體的長度、面積、體積等問題,已經非常熟練。根據史料記載,在西元前三一○○年左右,埃及人和巴比倫人就已經有一套數學規則,用於測量容器、丈量土地或是興建建築;而建於西元前二六五○年的吉薩大金字塔,也顯示埃及人對幾何學有一定程度的掌握。

  希臘歷史學家希羅多德(Herodotus,484-425BC)曾經提道,因為每年尼羅河的定期氾濫後,原有畫分土地所有權範圍的界線會消失,因此促使埃及人發展出精確的土地丈量能力。他們利用基準點與土地丈量的技術以恢復界線。埃及的幾何學家也被稱為「拉繩索的人」(rope-stretcher),因為他們利用繩索測量或標定距離和形狀;相同的技術也用在:為建築物畫定地基,或在氾濫後重新畫定土地產權。

寫下來

  目前已知最早的數學史料是埃及的阿美斯紙草書(Ahmes papyrus,有時稱為萊因德紙草書Rhind papyrus)。大約在西元前一六五○年,由阿美斯抄寫自一份更古老的數學文件,這份文件至少早於阿美斯紙草書兩百年,且很可能包含更古老的資料。阿美斯紙草書寫於莎草紙書卷上,寬33 公分,長超過5 公尺,上載84 個數學問題,主題包含算術、代數、幾何,也有度量衡問題,有些問題相當具象且貼近現實生活,例如:「一塊圓形土地的直徑為9 凱特(khet), 面積為何?」同時期的莫斯科紙草書(Moscowpapyrus)也記載類似問題,比方如何計算部分金字塔體積。

  因為埃及的數學作品皆書寫於材質脆弱的莎草紙上,因此只有一小部分得以留存後世。生活在肥沃的底格里斯河和幼發拉底河流域的美索不達米亞人,則書寫於烘烤過的泥板上,較不易損壞,因此留存下來的泥板超過十萬塊。其中一塊載明直角三角形斜邊計算方式的泥板,可上溯至西元前一八○○年至西元前一六五○年。這系列的泥板也記載計算矩形、三角形和圓面積的方法;也討論距離,例如,討論斜靠牆邊的梯子滑落時梯腳所移動的距離;泥板中也記載了 √2 的近似值,且可準確到小數點後第五位。巴比倫的數字進位制比埃及的系統更適合各種類型的計算,不過,究竟是對數目的興趣推動更好的數字系統發展,還是較好的數字系統促進了對數目的興趣,實在很難判定。

  異於埃及人,巴比倫人似乎已有普遍原則的概念:給定某些條件,某些數學敘述在任何情況下都成立。舉例而言,據泥板記載,巴比倫數學家已經導出正方形邊長與對角線的比,即1: √2 ;也就是說,只要將任一個正方形的邊長乘上 √2 ,就能算出其對角線的長度。

  然而,不管是埃及人或是巴比倫人,都不重視精準度,甚至有點不以為意;有時候他們可以算出精確的答案,但其他時候,他們使用近似的方法來算面積,卻從未提及計算結果並不精確。

數學家的誕生

  埃及與巴比倫數學家幾乎只對特定的實際問題有興趣,稍晚的古希臘是第一個對純粹抽象問題感興趣的文明。西元前兩千年左右,古希臘人的祖先從北方進入希臘半島,至西元前八○○年,古希臘文明的勢力已不可忽視,他們遠行至埃及與美索不達米亞地區,進行貿易的同時也學習他們的文明。

  過去從沒人提及希臘數學,直到西元前六世紀,希臘先後出現了幾位重要人物:來自米利都的泰利斯(Thales of Miletus, 624-546 BC) 與畢達哥拉斯(Pythagoras, 580-500 BC)。西元前約五七五年,泰利斯將巴比倫數學傳入希臘,後人稱他為「第一位數學家」,因為他開始「提出定理並證明之」─儘管他是否真的做過這些事已不可考。我們對泰利斯的認識僅限於後世對他的傳頌,現在已無法考證他是否與這麼崇高的地位相稱。以他為名的數學定理─泰利斯定理(the Theorem of Thales)中記載「內接於半圓的任何角都是直角(90°)」,這個觀念一千年前的巴比倫人即已熟知,泰利斯很可能是在美索不達米亞學到的。可惜的是,泰利斯對於這個定理的證明(如果有的話)並未留傳下來。

  在泰利斯死後九○○年,普洛克拉斯(Proclus, 410-485 BC)將以下幾項基本的幾何定理歸功於他:

  ● 任何一直徑都能平分一個圓

  ● 等腰三角形的兩個底角相等

  ● 兩相交直線的對角相等

  ● 若兩個三角形所對應的兩角與一邊都相等,則兩個三角形全等(即大小與形狀相同)

  雖然後人稱泰利斯為第一位數學家,但「數學之父」的頭銜則是給了五十年後出現的畢達哥拉斯,他或許是最為人所熟知的希臘數學家,如果你沒有學過著名的畢氏定理,那你肯定無法通過學校的數學考試!畢氏定理指出在一個直角三角形中,斜邊長的平方等於另外兩邊長的平方和。

  然而,畢氏定理很可能不是由他本人所發現的,而是由畢氏學派的弟子們共同提出的。與泰利斯的情況相同,畢達哥拉斯並沒有任何著作留傳下來,我們只能從後世的描述與傳頌中,推敲畢氏的貢獻(因此畢氏定理也很可能是先前數學家的突破性貢獻)。

  畢氏學派是一個神祕的兄弟會組織,他們共享研究的成果並禁止口傳於外,因此,現今不太可能去考據每一個貢獻該歸功於哪個特定的人。畢氏學派探究數字和數列的表現形態與性質,並深以此為樂,他們相信數字是所有事物的核心。在畢達哥拉斯過世後,畢氏學派仍持續運作許多年。

第七章 數字的用途和娛樂


機率遊戲

  機率是指事件發生的機會或可能性,在十七世紀時因為一場賭局而進入數學範疇。雖然卡當諾在一五二○年代就寫了關於機率遊戲的書(見第132 至133 頁),但直到一六三三年才出版,因此輸給了費馬和巴斯卡。費馬和巴斯卡在往來的書信中討論起一名叫默勒(Chevalier de Méré)的賭徒所提出的問題:

  兩名玩家玩純粹機率的遊戲,兩人各出賭金32 枚金幣,先贏三局的人可以帶走全部賭金。然而,三局後比賽因故終止,玩家A 贏兩局,玩家B 贏一局,請問此時要如何分賭金才公平?

  兩位數學家都認為玩家A 與玩家B 的賭金分配是3:1,但各自採取不同解法。

  費馬以機率計算答案,他認為只需要再加賽兩局便可分出輸贏,這兩場的贏家有四種可能:AA、AB、BA、BB,只有在最後一種情形下B 才能成為贏家,所以他有四分之一的機會獲勝,應分得四分之一的賭金。巴斯卡提出的解法則是根據期望值(expectation),若下一局是B 贏,則A 與B 各有一半機率能贏得32 枚金幣;若下一局是A 贏,則贏家非A 莫屬,因為他已經贏得兩局。這麼說來,A 應得到48 枚金幣,而B 應得到16 枚金幣,得出的結果與費馬相同。巴斯卡處理機率的方法得到數學家一致認同。

一切都是公平的

  雖然機率遊戲持續引發數學家的興趣,另一個引起數學家研究機率的動力,則來自於制定公平合約的法律問題。在一個公平的合約中,任何一方都有相同的期望值,這在金錢借貸中是相當重要的核心概念,基督教禁止從金錢借貸中獲取高額利益,因此,貸方被視為投資者,要自己承擔借錢的風險,但也因此可以正當地期待部分獲利。

  在十七世紀以前,借貸與年金的利率都是固定的,完全不考慮任何關於風險的概念或計算方法。第一篇計算風險的專著出現在一六七一年的荷蘭,作者是偉特(Jan deWit, 1625-1672),他在諮詢過惠更斯後寫成此書。當時的年金是由國家發售,目的通常是為了籌措戰爭經費,利息則一直訂為年金的七分之一,政府會持續給付直到持有者過世,但持有者的年紀或健康狀況並未納入考慮, 政府很顯然並沒有評估必須給付的時間有多長,而這數目可能不小。

  然而,儘管偉特能夠看出這個系統的缺失,但由於沒有平均壽命的資料,能做的改善措施很少,真正做到的更是極少。直到一七六二年,一家名為公正公司(Equitable)的倫敦的保險公司,才開始基於計算過的風險或機率來制定保險價格。

就機率而言,上帝存在

  直到十八世紀,機率才成為一個數學觀念,但是至十九世紀為止,機率卻仍普遍被視為基於常識的一種模糊概念。法國數學家拉普拉斯(Pierre-Simon de Laplace)將機率稱為「以計算來表達的良好判斷力」。

  有趣的是,在十八世紀時,機率和宗教之間的連結變成自然神學的主題。約翰 • 阿布斯諾特(John Arbuthnot, 1667-1735) 根據倫敦在一六二九到一七一○年間所進行的洗禮儀式所得出的統計資料,提出上帝確實存在的證據,他表示男孩的出生率比女孩高一些,接受洗禮的男女孩比例為14:13,然而到了適婚年紀,性別比即呈現平衡狀態,因為年輕男性的死亡率較高。如果我們假設男孩出生的機率為0.5,那麼未來82 年間,每一年男孩出生率都大於女孩的機率即為(0.5)82,這種男孩出生率比女孩高的現象世界各地皆有,阿布斯諾特因而視此為上帝天意的確鑿證據,以使社會保持完美平衡(但他似乎沒有意識到,也有其他能達到完美平衡且無須使這麼多男孩喪生的方法,如此可以避免許多父母遭受喪子的痛苦)。他的觀點逐漸受到採用和修正,但比較理性的瑞士數學家尼可拉斯•伯努利(Nicolas Bernoulli, 1695-1726)認為男孩的出生率或許不是0.5 而是0.5169,如此一來不需要神的干預,就能產生正確的所需結果。

做出決定

  就像巴斯卡的賭注,許多決策不僅可能受到對機率的認知影響,也可能因為主觀上想要得到某種結果而受到干涉,或是被人們所熟知的邊際效用(marginal utility)干擾。想像一下,全國性樂透一張值一枚達克特(ducat,十八世紀歐洲普遍使用的硬幣),而頭獎為一百萬枚達克特。對窮人而言,一枚達克特十分貴重,而獎金更是如此;對富人而言,一枚達克特根本無關緊要,但獎金對他而言還算誘人。相對於窮人而言,富人比較有能力負擔一枚達克特的賭注,但他並不怎麼需要獎金,所以可能也比較不在意是否要買樂透。雖然窮人和富人購買一張樂透的中獎機率相同,但是對於購買樂透的決定可就大相逕庭。

  在一七五○與一七六○年代,天花的預防接種是熱門的議題,因為預防接種使用的是活體天花病毒,而少數個案會染上天花(從母牛身上產生的牛痘疫苗是之後才引進的,較為安全)。天花在當時相當普遍,而且通常會致命,即使沒有奪走性命,基本上也會導致終身的傷害,例如眼盲或腦部受損。沒有接種疫苗的人日後會暴露於高風險中,其中有七分之一的機率會因此死亡,有接種疫苗的人在感染天花時比較不容易直接死於此病,之後證明接種者不會死於天花。丹尼爾•伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782)利用純粹數學計算,建議預防接種是唯一明智的抉擇,但是,法國數學家達朗伯特及其他人則認為,比起未來的安全,多數人可能寧願選擇現在多活一、兩週。

作者資料

安.魯尼(Anne Rooney)

安‧魯尼在劍橋大學的三一學院拿到博士學位,專研中世紀文學。她曾經研究並教授中世紀的英國和法國文學,而現在是專職寫作者,和一群動物以及女兒們定居劍橋。她為幼小的孩童寫輕鬆易懂的書、為年長一點的孩子寫篇幅稍長的書,也為大人們寫任何形式和篇幅長短不拘的書籍。

基本資料

作者:安.魯尼(Anne Rooney) 譯者:陳敏晧 出版社:臉譜 書系:科普漫遊1 出版日期:2013-02-27 ISBN:9789862352236 城邦書號:FQ1028 規格:平裝 / 全彩 / 216頁 / 17cm×23cm
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