《數字的祕密生命》作者最新力作，不是數學家也說好看的數學書 6有缺陷，12是好的，13招致災難……這是無稽還是理性的科學？ 一本消失的筆記本造成的轟動，與發現貝多芬第十號交響曲一樣大？ 數學證明不是對就是錯，用電腦來證明定理是暴力或必要之惡？ 郵票湊郵資、零錢購物……凡人的問題解決了，數學家的問題正開始？ 數學家也不喜歡排隊，這種不愉快的麻煩事竟能用數學理論解決？ 達爾文的回信模式與我們收發電子郵件類似，這是真的嗎？ 當外交官巧遇科學家，外交與數學的組合點燃了什麼樣的火花？ 條條大路通數學，多到數不清的數學大驚奇，一一揭開！ 數學正欣欣向榮。不只是龐加萊猜想這類陳年老問題已經解決，更重要的是許多日常生活的便利少不了數學，例如手機、CD和網路安全交易。無論結果是好是壞，數學也是建立現代投資策略的重要原動力。對一般大眾來說，幸運的是，如今可以透過這本書讓非數學專業的人，也能輕鬆理解數學知識和應用。 作者在50個精采故事中，以一般人的語言敘述近期獲得解答（或被認為已解答）的數學謎題、刊登於科學期刊的研究，以及生活中應用的數學原理，盡覽知名數學家和數學問題的迷人趣事。 全書分為九個部分，除了揭開數字背後的祕密、用排隊和麥克雞塊說明數學的日常應用、描述熱愛數字的外交官軼事、解釋如何依愛因斯坦的公式登機，還教我們用數學來計算愛情。獲獎數學專欄集結，淺顯易懂的筆調，一連串有趣、不一樣的數學故事，一窺數學背後引人入勝的趣聞軼事。 【好評推薦】 ◎「史皮婁的著作提供令人愉悅、文筆流暢、兼容並蓄的數學趣聞，無論數學背景如何，任何對數學感興趣的人，都能在搭機時以這本書度過愉快的閱讀時光。」――德福林（Keith Devlin），史丹福大學人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人及資深研究員，《數學的語言》（The Language of Mathematics）作者 ◎「能將史皮婁這些年來為其報紙數學專欄撰寫的許多形形色色、深具洞察且往往令人驚奇的數學故事，集結在一本書裡，真是太棒了。」――桑托伊（Marcus du Sautoy），牛津大學數學教授，《質數的奧祕》（The Music of the Primes）作者 【專業推薦】 ◎臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生 ◎成功高中數學科資深教師 徐德新 ◎北一女中數學教師 許秀聰 ◎國立臺灣師範大學附屬高級中學數學教師 陳燮溥

01麵包師傅的一打=13？

◎第一章  為數學而數學
02 小數點第五千位之謎
03 消失的筆記本
04 迂迴的數學證明
05 條條大路通羅馬
06 數字背後的祕密
07 質數的祕密生命

◎第二章  數學的日常應用
08 郵票、銅板與麥克雞塊
09 排隊的（不）公平性
10 在走道上要用跑的或走的？
11 數字9的奧祕
12 達爾文和愛因斯坦愛寫信？
13 哪個桌子不搖晃？

◎第三章  性情中人
14 以數學之名
15 艾哈德教授不回答
16 雅痞數學家
17 手足敵深
18 熱愛數字的外交官
19 出現四百八十五次的名字
20 改數學錯誤與修屋頂有關？

◎第四章  空中奇航
21 依愛因斯坦的公式登機
22 新闢道路反而更塞車？
23 班機飛巴黎……與安克拉治
24 虛擬的長途飛行

◎第五章  頭腦體操
25 左腦計算
26 喪失語言本能
27 資訊超載
28 廢除分數學數學？！

◎第六章  遊戲、禮物與其他娛樂
29 魔術方塊轉幾下？
30 數獨的數學原理
31 政治與方陣研究啥關係？
32 數字衝過頭！
33 用數學計算愛情
34 誰贏得井字遊戲？
35 說謊者與半說謊者
36 人機大戰誰稱臣？

◎第七章  選擇與切割
37 猶太經典是賽局理論先驅？
38 你的蛋糕比我大？
39 多到難以抉擇的煩惱
40 選出最佳教宗和最佳歌曲

◎第八章  錢，以及賺錢
41 跟著金錢走
42 地震、癲癇發作與股市崩盤
43 不要射殺信使

◎第九章  跨學科集錦
44 迷人的碎形
45 機率多高才超越合理懷疑？
46 曾經有個數學難題……
47 除非我的手機鈴聲獨一無二
48 強化自願合作
49 密碼或騙局？
50 對抗錯誤濫用數學運動

在走道上要用跑的或走的？

就快趕不上飛機了，卻得停下來綁鞋帶，這時應該在電動走動上綁還是不在上面綁？或者在哪裡綁沒有差別，只是時間得失的權衡而已？

　　加州大學洛杉磯分校數學家陶哲軒是現代的數學巨星之一。他在青少年時期就被視為奇才，以十二歲之齡贏得數學奧林匹克競賽金牌（此前他已經得過銅牌和銀牌）。陶哲軒二十四歲升任加州大學洛杉磯分校教授，三十一歲獲頒菲爾茲獎（Fields Medal）。

　　現在陶哲軒也成為部落客。他常利用自己的部落格闡釋授課內容的細節，滔滔不絕地講述難解的數學問題。但他的部落格不是只給同行或進修生看的，也探索日常事務和觀察的數學背景。這就是數學之美：在各種生活事件和尋常地方都能發現數學的應用。

　　有一次，陶哲軒發現他快趕不上飛機，得從報到櫃台飛奔到登機門。如同多數機場的設計，航站與登機區之間的部分通道設有電動步道，幫助旅客加速前進；通道其餘部分則要走在硬地上。陶哲軒不願放過探索未被探究的數學難題的好機會，在部落格上問讀者下面的問題：如果旅客得稍停下來綁鞋帶，他應該在電動走動上綁還是不在上面綁？此外，如果他只剩有限的力氣短暫衝刺，如二十秒，且其他路程以恆速行走，在電道走道上跑還是不在上面跑比較有效率？

　　當陶哲軒在部落格提出這個問題後，世界各地的人在部落格上做出回應。幾天之內，陶哲軒就被這些回應淹沒；各種意見和計算蜂擁而至。當然，也有常見愛搞笑的。有人認為最好繼續在電動走道上，不必綁緊鞋帶，直到上了飛機再綁；其他人建議不要跑，因為這樣可能會撞到其他旅客；還有人提醒在電動走道上綁鞋帶很危險，因為鞋帶可能捲入機械裡。有個呆瓜強調走道上一定要用走的，只因為它叫「走」道（然而，這引發一個疑問：飛機在「跑」道上做什麼呢？）。

　　但也有一些正經的意見。有讀者認為，在哪裡綁鞋帶、在哪裡跑沒有差別，因為只是時間得失的權衡而已。另外有人乘、除、加、減走路所花的時間、跑所花的時間和綁鞋帶所花的時間，然後把得出的結果與電動走道速率、走路速率、奔跑速率做比較。

　　當然，正確的計算才能得出正確的答案，我們馬上就會公布答案。但有些非數學專業人士期望的是口語解釋的解答，而非以數學公式表述的答案。

　　一位數學家幫了忙。他請讀者想像一對雙胞胎，亞伯特和伯提，兩人同時到達電動走道，各有一隻鞋的鞋帶鬆了。伯提在快踏上電動走動之前，彎腰綁鞋帶。片刻後，亞伯特剛踏上電道走道，同樣彎腰綁鞋帶。兩人都綁好鞋帶，同一時間起身，然後繼續往前走。當然，亞伯特會領先伯提。亞伯特踏出電動走道後，伯提還在電動走道上，事實上他的確逐漸接近亞伯特。但踏出電動走道後，他再也趕不上亞伯特，亞伯特做了正確的選擇。於是我們得到這個問題的正確答案：在電動走道上綁鞋帶比較有效率。

　　還有該不該在電道走道上跑的問題。陶哲軒的部落格也吸引了經濟學家的注意，他們覺得自己應該參與討論。畢竟，最佳化變量（optimizing variable），包括利潤、市占率、產量，是他們的謀生之道。他們的結論是，為了盡可能在最短時間內前進一段距離，應該盡量把時間花在速度快的區段。如果匆忙的旅客在電動走道上跑，就縮短了花在快速通道區段的時間，同時也延長了花在慢速區段的時間。這就是為什麼應該在硬地上跑的原因。在經濟理論中，大家早就知道，如果可以選擇，生產工廠應該盡可能把最少的工作安排給最沒有效率的機器。

　　信不信由你，這個結論也可以應用在賽車上。最近一級方程式車手已獲准按「加速」按鈕，釋放80馬力爆發能量，每一圈最多6.6秒。陶哲軒的部落格會建議賽車手在車道的慢速直線跑道按這個鈕。

　　同時，普林斯頓大學運動力研究員斯里尼瓦桑（Manoj Srinivasan）的發現證明，人們在電動走道上會減速，以保存能量。2009年，這些發現在《混沌》雜誌（Chaos）發表，證實了俄亥俄州立大學的楊恩（Seth Young）先前的研究結果，他注意到人們在自動化走道上走得比較慢。楊恩指出，箇中原因是當人們踏上電動走道，眼睛會覺得他們正走得比平常的「腳步」快，然後自然調整為較舒適的速度，也就是較不耗能的方式。 依愛因斯坦的公式登機

數學家利用愛因斯坦相對論中的一個公式，建立登機的模型。它告訴我們，不要管登機廣播了。完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位，比依序從後往前登機有效率多了！

　　顯而易見地，航空公司只有當它們的飛機在空中載客運行時才能賺錢。因此，周轉時間（turnaround time），也就是飛機降落與起飛之間待在地面上那段時間，想當然應該愈短愈好。除了清潔飛機、檢修保養和加油之外，還有一項重要考量因素是乘客就座的速度。數百位乘客登機所花的時間，可能導致大延誤和延長留在地面上沒有效益的時間。這就是為什麼航空公司要尋找更有效率的方法，讓今日航空器可以乘載的愈來愈多乘客迅速入座。在縮短登機時間的策略上，乘客通過機艙的順序扮演至關重要的角色。

　　根據五位以色列和美國數學家的看法，許多航空公司的現行政策無疑並非最佳策略。它們的措施是，先讓後排乘客登機，然後逐步讓前排乘客入座。一個典型的例子是，先召集第25排至第30排的乘客登機，然後是第20排至第25排，以五排為單位遞增，逐步朝機頭方向移動。這種方式背後的想法是，不會有低數排的乘客阻塞走道，因而讓其他乘客無法到達後排。

　　這種作法看似有道理；畢竟，一桶啤酒也是從底部往上裝填。但直到近期，仍然沒有數學模型可以驗證這個程序的效率。系統工程師採權宜之計，借助電腦模擬，而這些模擬讓人對傳統登機方式產生懷疑。或許從後往前登機不像我們以為的那麼有效率？

　　對專家來說，仰賴模擬模型絕不是讓人滿意的方法。他們需要的是一個數學模型，這個模型可以明確計算出用不同方式登機所需的時間長度。最後找到一個模型，但它出乎意外地複雜。五位數學家得利用愛因斯坦相對論中的一個公式來建立這個模型，直到當時，那個公式都從未應用在物理學以外的領域。班固利恩大學（Ben-Gurion University）計算機科學家巴赫梅（Eitan Bachmat），分析電腦硬碟輸入輸出佇列（queue）時突然想到這個概念。

　　巴赫梅和同事發展出來的模型，考量飛機客艙、登機方式、乘客和乘客行為等參數。結果證明，最重要的變項是三個參數的組合：一站立乘客和其手提行李所阻塞的走道長度，如40公分，乘以一排座位數，再除以兩排之間的距離。若一排有六個座位，各排之間的距離約80公分，結果會是3。這個數字表示在趨近指定座位時，單一排的乘客在最終入座前，會占據三排的走道空間。

　　問題立刻變得顯而易見：如果坐在第25排至第30排的乘客被要求登機，半數走道會完全被堵住，而且多數乘客要等到在他們前面的每一個人都就座，才能到達他們的指定座位。根據這個模型，坐滿機艙所需的時間與乘客數成正比。

　　這種艱困的情況是可以避免的，如果作法是讓第30排、第27排、第24排的乘客先登機，接著是第29排、第26排、第23排的乘客，然後是第28排、第25排、第22排的乘客，依此類推。以這種方式登機的乘客，不會在走道上彼此阻礙。然而，要實施這麼複雜的措施，困難度相當高（有一種實行方式是利用不同顏色的登機證，例如第30排、第27排、第24排是紅色，第29排、第26排、第23排是藍色，依此類推。那麼廣播時只要說「持藍色登機證的乘客請登機」等等）。

　　令人意外的是，數學家的計算證明，如果航空公司願意讓乘客以隨機順序登機，登機時間會大幅縮短。不要管登機廣播了。甚至更讓人驚訝的是，這個模型進一步指出一種更有效率的登機方式：乾脆完全不要劃位，讓乘客隨意登機選擇座位。用這種方法，或說不用任何方法，乘客登機就座所需的時間，僅與乘客數的平方根成正比。

　　但好消息還不止這些。如果從後排開始，坐靠窗位子的乘客先登機，接著是中間座位的乘客，最後是座位靠走道的乘客，登機時間甚至還能再縮短。然而，這種方式可能對家庭旅客和團體旅客不利，他們會暫時被分開。

　　一種極端考究的策略是，先讓坐在飛機一側靠窗位子的乘客登機，接著是座位在飛機另一側靠窗位子的乘客，然後是中間位子的乘客，最後是座位靠走道的乘客。 用數學計算愛情

應該買什麼禮物給心愛的人？這個聽起來很浪漫的問題，其實不過是簡單的決策問題，用枯燥乏味的數學就可以解決。科學家發現利用賽局理論和數學模型，可以找出最佳送禮策略。

　　有個年輕人左右為難。他應該買什麼禮物給心愛的人？他要如何向她證明自己對這段感情很認真？愛炫耀的有錢人會試圖選擇昂貴的禮物來贏得芳心，例如鑽石項鍊。小氣鬼只會送個訂做的首飾。圓滑的花花公子選擇最浮誇不實用的，如一盆蘭花或大都會歌劇院首演門票。這個聽起來很浪漫的問題，其實不過是簡單的決策問題，用枯燥乏味的數學就可以解決。

　　倫敦大學學院的索舟（Peter Sozou）和西摩（Robert Seymour）研究的正是這個問題。他們利用賽局理論和數學模型找出最佳送禮策略。2005年，他們在《英國皇家學會會報》發表這項研究。

　　索舟和西摩建立的模型是根據一系列約會決策所做的求愛遊戲。男性送給女性的禮物類型，是他的身分地位的象徵。這個遊戲從男性選擇禮物開始。他送給女士什麼樣的禮物，昂貴的、浮誇的或廉價的，取決於他覺得這位女士有多迷人。一旦男士送了禮物，女士必須決定是否接受，並且與他單獨見面談情說愛。接下來，球又到了男方手中。現在他必須決定是否與這位女士交往，或者是否放棄且另尋更適合的對象。

　　雙方都必須小心謹慎。一方面，女士無法馬上看到禮物的價值。只有收下禮物之後，她才能判定它的價值。另一方面，鑽戒很容易變現，這會讓男性立刻遲疑。雙方都必須根據賽局理論和機率，依對方的可能意圖來自我調整。男士自問那位女士是否真的喜歡他，還是只對禮物感興趣。女士想知道這位追求者是否考慮認真投入感情，還是只是短暫邂逅。

　　索舟和西摩需要找出符合所謂納許均衡（Nash equilibria）的情況。這類情況以數學家和諾貝爾獎得主納許（John Nash）為名，電影《美麗境界》（A Beautiful Mind）甚至讓非數學家都對他耳熟能詳。如果無論男士或女士都無法單方面改變其策略來獲得任何東西，這種狀態就說處於均衡。納許均衡可以計算出來，不過這類遊戲的參與者當然沒做任何計算。他們發現要導向納許均衡的途徑，要不透過物競天擇的壓力，要不藉由學習過程來達到（例如年輕人適應社會習俗）。一旦參與者達到這樣的均衡，任一方都不會有動機想去改變策略。這種情況是演化穩定（evolutionarily stable）。

　　兩位研究者找到五種納許均衡。舉例來說，第五種如下：「男性送廉價禮物給沒有吸引力的女性。他們送昂貴或浮誇的禮物給具吸引力的女性，兩種情況各有一定機率。女性接受所有只來自迷人男性送的禮物。如果後來發現禮物價值不斐，她們會決定交往。」然而，男性最成功的策略是，送可能的伴侶高價但無法變現的禮物。藉由這個禮物，女性收到雙重訊息：第一，追求她的男子財力雄厚；第二，他對她的評價很高。同時，男性可以避開釣凱子的自利女性，因為禮物實際上沒有任何真正的市場價值。

　　順帶一提，浮誇禮物不是人類的專利；動物也偏愛這種禮物。舉例來說，當雄孔雀賣力進行炫耀覆有羽毛的尾部，這種毫無效用但會帶來很大壓力的行為時，雌孔雀相當迷戀。然而，談到令人不快，澳洲蚊蝎蛉（Bittacus apicalis）絕對是極其討厭的禮物。雄蟲在交配後會設法偷回牠的禮物，也就是多汁的昆蟲，以便送給另一隻雌蟲。

作者：喬治．史皮婁(George G. Szpiro) 譯者：郭婷瑋 出版社：臉譜 書系：科普漫遊1 出版日期：2011-05-26 ISBN：9789861208213 城邦書號：FQ1026 規格：膠裝 / 單色 / 240頁 / 14.8cm×21cm