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不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!
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  • 不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!

  • 作者:米羅.貝克曼(Milo Beckman)
  • 出版社:經濟新潮社
  • 出版日期:2022-09-08
  • 定價:360元
  • 優惠價:79折 284元
  • 優惠截止日:2024年7月30日止
  • 書虫VIP價:284元,贈紅利14點 活動贈點另計
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內容簡介

當數學裡沒有數字,會發生什麼事? ——沒有練習題,沒有標準答案,剩下的是發現、探索、推論,以及解謎的樂趣! 這本書除了頁碼之外,完全沒有數字,同時還有100多幅由紐約當地藝術家M手繪的插圖。作者利用文字和圖像來傳達重要的數學概念的感覺,並省去了公式和計算。 雖然沒有數字,但這本書對於數學是什麼?數學涵蓋哪些部分?最有趣的地方在哪裡?這些探索是絕不打折,而且能讓您對於數學,有更廣闊的了解。 例如,有什麼東西比「無限大」更大嗎?世界上總共有多少種形狀?現實生活中什麼時候會用得上這些?這些問題其實都有答案,但答案都不是數字。 從本書一開始,作者帶領我們進入一個奇妙的「現實平面」。在這個平面上,正方形是圓形、賽局是樹,自然世界則是電腦模擬。對於學過九九乘法之後就不再關注數學的人而言,數學真的是抽象怪異到了極點!但是,數學為什麼還那麼有用呢? 這本書寫來生動活潑,而且極富原創性,它帶領我們認識抽象數學的三大分支:拓樸學、分析和代數,把這三個領域解釋得很清晰而有趣。作者說,其實關鍵就是掌握模式。這本書一反傳統的教學方式,邀請讀者運用創意,來思考空間和維度、無限大和無限小、對稱、證明、結構,以及這些概念如何結合在一起,最後,將這些概念應用在日常生活中! 歡迎來到人類知識的最前沿,體驗數學的美麗與奧祕。 專業推薦 李政憲,新北市林口國中老師 洪萬生,臺灣數學史教育學會理事長 游森棚,臺灣師範大學數學系教授 我要大力推薦這本書!有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養,我尤其希望有語文閱讀自信的讀者,一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世,因為這攸關公民科學素養的必要選項。 ——洪萬生,臺灣數學史教育學會理事長 這是一本非常特別的數學科普書!我欣見這本書的出版,也佩服作者的宏觀與有趣的文筆,把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的,足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。 ——游森棚,臺灣師範大學數學系教授 什麼?學數學可以不用數字?!作者深入淺出,以圖文介紹了許多看似難懂的數學名詞,以及這些概念與生活、遊戲與哲學等面向的連結,若你覺得不知道數學有何用處,或是有興趣想研究更多數學面向,這本書值得一讀。 ——李政憲,新北市林口國中老師、藝數摺學FB社團創辦人、教育部師鐸獎得主 《不用數字的數學》以迷人的魅力、堅定的熱情和大量插圖,帶領讀者進入高等數學的花園。 ——喬登.艾倫伯格(Jordan Ellenberg),威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授、《數學教你不犯錯》作者 就像在跟你聊天一樣,這是一場愉悅、迷人的數學世界之旅,還有它與現實世界的關係——而且看不到一個數字!每個人都該讀讀這本有趣的書,數學家也是。 ——伊恩.史都華(Ian Stewart),英國華威大學數學教授、《改變世界的17個方程式》作者 《不用數字的數學》探討深奧的數學主題,呈現數學家的思考方式,再以十分淺顯易懂的方式傳達給讀者。謎題和遊戲更增添本書的趣味性,讀來十分愉快。 ——威爾.舒爾茲(Will Shortz),《紐約時報》填字遊戲編輯 淺顯易懂地引介一般大眾不熟悉的概念,說明現代數學為何是人類思想中最迷人且最具成就感的領域。 ——格拉漢.法梅洛(Graham Farmelo),《The Universe Speaks in Numbers》作者 本書文句淺顯,又有插圖輔助,讓了解複雜(而且讓人望而生畏)的數學概念變得異常容易。貝克曼輕鬆的筆調和Erazo可愛的插圖相輔相成,娓娓道來深刻又有趣的數學故事。 ——喬琪亞.盧比(Giorgia Lupi)和史蒂芬妮.波薩維克(Stefanie Posavec),《Dear Data》及《Observe, Collect, Draw!》共同作者 非常可愛的一本書!數學好玩、令人驚奇又迷人,但這些特質往往被嚇人的方程式和形式主義掩蓋。米羅‧貝克曼徹底揭露數學的迷人之處,讓大家體驗。 ——蕭恩.卡羅爾(Sean Carroll),加州理工學院物理教授、《Something Deeply Hidden》作者 本書完整呈現數學的有趣之處,同時避開令人生畏的技術細節。我的書架上又多了一本好書。 ——謝里夫.傑克森(Shareef Jackson),STEM多樣性倡議者

目錄

推薦序 一窺當代抽象數學的面向 游森棚 推薦序 不用數字,數學也可以非常有趣! 洪萬生 拓樸學 形狀 流形 維度 分析 無窮 連續體 映射 代數 抽象 結構 推論 基礎 對話錄 建模 模型 自動機 科學 繪圖者簡介

內文試閱

  形狀      數學家通常都想很多,這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念,試圖找出更深層的意義。      形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時,很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問:形狀是什麼?構成形狀的要素是什麼?我們以形狀分辨物體時,會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的,以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼?當我們說某樣東西是圓形時,看到的是什麼呢?      當然,這些問題沒什麼意義。就實際用途而言,我們對形狀的直覺理解就已經夠了─生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想,形狀倒是個很有趣的主題。      假設我們現在要思考了,我們或許會問自己這個問題:      世界上有幾種形狀?      這個問題很簡單,但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法,稱為廣義龐卡赫猜想(generalized Poincaré conjecture,或譯龐加萊猜想)。這個猜想提出至今已經超過一百年,目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多,有一位數學家解出這個問題的大部分,因此獲得了100萬美元獎金,但還有許多種形狀沒有找到,所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。      我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀?如果沒有更好的點子,有個不錯的方法是畫出一些形狀,看看會有什麼結果。      看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎?波浪線(squiggle)應該全部算成一大類,還是應該依彎曲的方式細分?我們需要一種通用規則來解決這類爭議,才不用每次都需要停下來爭論。      可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師,通常會希望規則既嚴謹又精確:必須長度、角度和曲線都完全相等,兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學(geometry)這個數學領域。在這個領域裡,形狀嚴格又精確,經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。      但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀,但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則,它能夠把所有的形狀分成若干類別,但類別的數量又不至於太多。      新規則      如果一個形狀不需要剪剪貼貼,只要拉伸或擠壓就能變成另一個形狀,則這兩個形狀相同。      這個規則是拓樸學(topology)的核心概念,拓樸學就像是比較寬鬆模糊的幾何學。在拓樸學中,形狀以極薄且可無限延展的材料形成,像橡皮或麵團一樣,可以任意拉扯、扭轉和改變。在拓樸學中,形狀的大小並不重要。      此外,正方形和矩形相同,圓形也和橢圓形相同。      現在奇怪的事情來了!如果用這個「拉伸或擠壓」規則來思考,圓形和正方形也是相同的形狀!      先別急著告訴朋友,我們看到有一本書上說正方形是圓形!別忘了:背景前提很重要。在拓樸學中,正方形確實是圓形,但在藝術或建築、日常對話,甚至幾何學中,正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形,這輛自行車一定騎不遠。      但現在我們研究的是拓樸學,研究拓樸學時,我們不用理會揉一揉就會消失的尖角這類小細節。我們會忽視長度和角度、直線邊或曲線邊或波浪邊等外表的差異,只看形狀的核心,也就是構成這個形狀的基本特徵。拓樸學家觀察正方形或圓形時,看到的是一個封閉迴圈,其他的都只是我們拉伸或擠壓它所形成的特徵。      這就像問:「項鍊是什麼形狀?」項鍊用某種方式拿著就是正方形,換一種方式又變成圓形。但不管我們怎麼改變,項鍊都有個不會改變的基本形狀,無論是正方形、圓形、八角形、心形、新月形、水滴形,或是七百一十六邊形。      這個形狀有許多不同的形式,所以不能稱為圓形或正方形。我們有時稱它為圓形,但在拓樸學說法中,這種形狀的正式名稱是S1。S1是項鍊、手鐲或橡皮筋、跑道或賽車場、護城河或國家邊界(假設沒有阿拉斯加)、字母O和大寫D的形狀,或是任何形狀的封閉迴圈。如同正方形是一種特定的矩形,這些形狀也都是特定的S1。      還有其他形狀嗎?如果這個拉伸和擠壓規則太過寬鬆,結果把許多不同的形狀通通歸成一個大類,這樣也不行。還好這個規則不會這樣,還是有其他種形狀和圓形不同。      例如線:      一條線可以彎成接近圓形,但是要變成真正的圓形,線的兩頭必須接在一起,但這樣不行。無論我們如何彎轉一條線,線的兩端一定各有一個點,形狀就到此為止,這兩個端點不能去除。我們可以任意移動和拉遠端點,但端點是這個形狀不變的特徵。      同樣地,「8」也是另一個不同的形狀。8沒有端點,但中間有個特殊的交叉點,這個點有四條線向外延伸,而其他點則只有兩條線往外。無論怎麼拉伸和擠壓,都不可能使這個交叉點消失。      仔細想想,這個資訊已經足以讓我們回答「世界上有幾種形狀?」這個問題。答案是無限多種,以下是我的證明:      證明      我們觀察一下這組形狀。如果在原本的形狀上畫一筆,就會生成新的形狀。      每個新形狀都比前一個形狀有更多的交叉點和端點,所以一定是不同的新形狀。如果一直添加下去,將會得到無限多個不同的形狀,因此形狀有無限多種。      故得證      這樣可以接受嗎?我們要做的只是找出這樣一組無限多種形狀,而且它顯然能永遠不停地生成新形狀。

延伸內容

【推薦序】一窺當代抽象數學的面向
◎文/游森棚(臺灣師範大學數學系教授)      讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。      這本書談的數學,會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣,也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之,這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域:拓樸、分析、代數,最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」,都沒有「數字」。      這是數學嗎?!      讀完初稿,不禁啞然失笑,回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限,目標是解設計好的題目:不要有計算失誤,快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際,大一的微積分(Calculus)與線性代數(Linear Algebra),除了像高中數學一樣的計算與解題,更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行,不知不覺進了大二。      然後我就在大二的高等微積分(Analysis)與代數學(Algebra)卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程,幾乎沒有像高中數學一樣的計算題,而是一整片的理論。前面沒弄懂,後面就根本無法前進。簡單來說,這兩門課從課本內容、習題、到考試,全部是證明題。我可以整個下午在書桌前,只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題,可以耗掉好幾天,而且還做不出來,更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲,一本薄薄的課本可以讀這麼久,真的太划算了。      我原以為這兩門課已經嘆為觀止,但到了大三時,修了一門更誇張的課,叫做拓樸學(Topology)。幾百頁的課本中沒有任何數字(數字只出現在頁碼、定理標號、足碼)。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板,可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸,掙扎忍耐到快要學期末,然後老師很興奮地預告,下學期,在書本的後半,我們將會證明Jordan Curve Theorem這個大定理:這個定理是說,你拿筆在紙上畫一個圓,會把紙分成兩部分,「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然,這能不譁然嗎!我簡直矇了,那一瞬間, 我覺得我在外星球上……      這是數學嗎?!      數學研究什麼      是的,這是數學。經過大學數學系,我知道從定義出發,純粹的論證與推理,推出夠一般的結論,是數學理論發展的步驟。而論證與推理,才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同,數學是一步推一步的,要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同,但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表,三七是二十一也是有理由的。      如果我們抽離出最根本的概念,數學就是在研究形狀,研究變化,研究結構,應用之以解決實際問題,資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。      用數學專業的語言來說,數學研究形狀,就是「幾何學與拓樸學」;數學研究變化,就是「分析學」;數學研究結構,就是「代數學」;數學解決實際問題,就是「應用數學」;數學與資訊結合,就是「離散數學」。這幾個領域,就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。      作者的野心      這正是本書的內容。這本書的五個章節中,第一章是拓樸學(形狀),第二章是分析(變化),第三章是代數(結構),第五章是建模(應用數學與離散數學)。數學既然是一步推一步,根基是否穩固就很關鍵,這個部分穿插在第四章的基礎(數學基礎與數學哲學)。      由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的,因此本書作者相當努力,在每一章中,盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中,盡可能貼近讀者的生活經驗,或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。      要對一般讀者講解抽象的高等數學,細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念,還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下:三角形、橢圓、長方形、叉叉,這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」?很顯然就是叉叉,這個小朋友都能做。但這樣的直覺,就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了,這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧!讀者如果想學嚇人的專業術語,我來註解如下:三角形、橢圓、長方形是同胚的(homeomorphic),但是叉叉和它們不同胚。      書中有些材料作者介紹得非常精妙,即使以我專業數學家的眼光來看,都覺得眼睛一亮,比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念,讀者就不要有壓力,當作有趣的故事書來讀,會有驚喜的發現:重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……      未盡之言      最後再回到讓全班譁然的Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別——這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形(manifold)事情就變得非常複雜,讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」,可以看這本書的第一章……      我欣見這本書的出版,也佩服作者的宏觀與有趣的文筆,把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚,不管是哪個主幹,本書提及的材料都還只是很小的部分,茫茫數學大海,還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制,許多重要的領域本書沒有碰觸,是較為可惜之處。但這是我太苛求了,本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的,碰觸到的領域已經非常廣闊,足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。      無論如何,希望本書能開一扇門,引領有緣的讀者或未來的數學家,體會當代數學的面向,從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

編輯推薦

【編輯推薦】最抽象的,可能也是最基本的——談談《不用數字的數學》
  會出版這本書,是想證明自己的一些猜測:數學的本質是什麼?數學的核心或是一路發展下來的基礎是什麼?很可能不是數字。就如同我們經濟新潮社出版了很多商管書,從這些書以及實際在職場上打滾的經驗,可以知道,數字很重要,但一定不是最重要的。就商業上或個人而言,最重要的是數字以外的東西:你的自我管理和自我對話的過程、適當的人際關係、理解別人、對於品質的品味,等等。      數學可能也是這樣。書的一開始作者就提到,一般從小學到高中所學的數學,叫做「學校數學」(school math,還真有這種說法!),這個大約就是我們跟數學中的「數」奮鬥的時期。      然後呢?實際上的數學系會學什麼?為什麼很多人在經過國中、高中的數學課之後就徹底投降,從此老死不相往來,可能是習題太多太杜爛,也可能是學習得太匆匆,因為許多觀念是一步推一步的,而且數學是個充滿假設、定義、推論的世界,而這些又超出數字的範疇了!數學其實很有趣,但需要時間以及耐心。      這本書的作者,可說是一位天才型的數學家,今年也才27歲,就寫了這本小書來告訴大家數學其實很好玩,即使是高等數學(大學數學)也是從很有趣、很基本的起點開始的。所以不要被目錄中的內容嚇到了——拓樸學、分析、代數、自動機——你會看到一些你從沒想過的事情;對於社會人,它可以給你一些概念或靈感,對於高中生來說,呵呵,是個好機會來領略數學的真相!      順便一提,你若是可以忍住先不看前面的兩篇推薦序,那很好,看完整本書之後再來看,其滋味更是美妙無比!

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作者資料

米羅‧貝克曼 Milo Beckman

1995年出生於紐約曼哈頓。他從小就對數學非常著迷,8歲開始在史岱文森(Stuyvesant)高中上數學課,13歲時擔任紐約市數學小組組長,15歲進入哈佛大學。他的研究計畫和獨立研究相當多樣化,曾經被《紐約時報》、538網站、《早安美國》節目、《沙龍》網站、《赫芬頓郵報》、《高等教育紀事報》、《商業內幕》、《波士頓環球報》、《高譚派》(Gothamist)網站、《經濟學人》等媒體報導。 他曾為三家科技公司、兩家銀行和一位美國參議員工作,19歲時退休,開始在紐約、中國和巴西教授數學,並開始撰寫這本書。他目前住在布魯克林。 他的網站milobeckman.com 推特:milobela

基本資料

作者:米羅.貝克曼(Milo Beckman) 譯者:甘錫安 繪者:M Erazo 出版社:經濟新潮社 書系:自由學習 出版日期:2022-09-08 ISBN:9786267195017 城邦書號:QD1038 規格:膠裝 / 單色 / 224頁 / 14.8cm×21cm
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