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這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅
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內容簡介

暢銷書《一個數學家的嘆息》作者的最新力作! 還原數學的本質,就是一種好奇、探索、發現的過程。 近幾年來,保羅.拉克哈特的《一個數學家的嘆息》在數學圈子裡祕密流傳,直到成書出版後,更引爆了廣泛的好評,因為它批判了今日僵化的數學教育(背公式、大量的習題),忽略了帶領學生思考問題的過程;而且數學課程太片段化、瑣碎、缺乏脈絡。我們本來可以給孩子更好的數學體驗,讓他們喜歡上數學,產生好奇心,不是嗎? 在這本新書中,作者寫出了數學教育正向積極的一面,帶領我們體會,數學是一種充滿趣味的探索以及思考方式。 作者現身說法提出了他心目中的數學,應該是什麼樣子。他先談數學世界與現實世界有何不同,然後從三角形、圓、幾何、代數、三角函數、向量、到微積分,不斷地引導我們問「為什麼?」。 他和你說話,用平易近人的語氣,運用手繪的圖形,就像是自己在玩數學似的,呈現他心目中理想、有意義的數學問題,以及思考過程。他不會假裝數學很簡單,但也大方展現數學的美。在他筆下,複雜的數學概念變得符合直覺、容易掌握,數學概念不再是東一塊、西一塊,各個單元彼此可以連結,形成有意義的動人故事。他針對數學推理和古典幾何主題的討論很有意思,正呼應了他所堅信的:數學不僅是科學,也是藝術。 在這個新天地裡,漂亮的圖形和模式在我們的腦海中閃過,做出一些令人驚訝的事!當我們注意對稱性、圓形、圓柱、圓錐,會發現幾乎每個人都有辦法「做數學」,當我們一頭栽進去,盡情思考之後,將獲得極大的喜悅,並得到情感和美感上的回報。 【熱情推薦】 泛科學Pansci.tw 推薦 ◎任維勇(北一女中數學教師) ◎洪萬生(師大數學系退休教授) ◎游森棚(師大數學系教授) 「無論你受過什麼樣的數學教育,或是沒有上過數學課,你都會從這本迷人的書中得到樂趣。只要你接受作者的邀請,浸淫在書裡散發出的數學感受中,並親自動手嘗試看看——不只是解題,更積極的,一面探索數學世界一面構思問題。」 ——貝利.馬祖爾(Barry Mazur ),哈佛大學校聘數學教授 「這本書是一首情歌,一篇哲學宣言,以及關於做數學的甘苦,但甘甜占了大多數。」 ——史蒂芬.史特格茲(Steven Strogatz),康乃爾大學講座教授 「充滿趣味和巧思的寫法,不僅讓數學不再令人感到害怕,也優雅地描繪出作者樂在其中的世界。」 ——《出版人週刊》(Publishers Weekly)

目錄

推薦序 從「測量」看數學與數學之美 游森棚 推薦序 去掉條條框框,看見數學的本質 洪萬生 真實與想像 漫談數學問題 上篇 大小與形狀 我們一開始先談抽象幾何圖形; 對稱鋪磚和角度; 縮放和比例; 長度、面積與體積; 窮盡法及其結果; 多邊形和三角學; 圓錐曲線與射影幾何; 力學曲線。 下篇 時間與空間 這一篇涵蓋了數學上的運動; 以數值關係描述運動; 向量表示法和力學相對性; 速度; 微分法及其各式各樣的應用; 最後是給讀者的一點鼓勵。 英中譯名對照

內文試閱

真實與想像   現實世界有很多種。其中一種,當然是我們身處的實體世界。再來就是那些和實體世界非常類似的想像世界,譬如那個「一切如常而且我五年級那年並沒有尿在褲子上」的世界,或是「同車黑髮正妹轉頭跟我交談,最後我們墜入愛河」的那個世界。相信我,這種想像中的現實世界有一大堆,但這些與我的主題無關。   我想談一種完全不同的世界,我準備稱呼它「數學實在」(mathematical reality)。我的心智可以看到一種世界,美麗的幾何形狀與模式翱翔其間,做出讓我驚嘆的有趣行徑。這個世界很讚,我真的很喜歡。   問題是,實體世界是個災難。它太複雜,一切事物都不像表面上那樣。物體熱脹冷縮,原子不時飛舞。尤其是,沒有哪樣東西可以真正測量得出來。我們不知道一根草的精確長度。這個宇宙中的任何一個量測值,必定都是近似值。這沒什麼不好,宇宙的本質就是如此。在這裡,最小的斑點不是點,最細的絲線也不是線。   至於數學實在,則是一種假想的世界,我可以隨自己高興,把它想像成簡單又美好。我可以擁有現實生活裡不可能擁有的完美事物。我手裡不可能握著一個圓,但腦袋裡可以,甚至還能度量這個圓。數學實在,是我自創出來的美麗境地,我可以去探訪、思索,與朋友一起討論。   大家之所以對實體世界感興趣,有很多理由。天文學、生物學、化學和其他領域的專家,一直在設法了解這個宇宙的運作,試圖描述它。   我則是想描述數學實在,想做出模式,搞清楚這些模式如何運作。這正是像我這樣的數學家努力做的事。   重點是,我要設法兼顧實體世界與數學實在,因為兩者都充滿了美和樂趣(也令人敬畏三分)。實體世界很重要,因為我身處其中,數學實在也很重要,因為就存在我腦袋裡。我這輩子就在設法同時擁有這兩樣美好的東西,你也一樣。   我寫這本書的構想,是要設計出各種模式。我們會做出幾何形狀與運動的模式,然後試著理解並度量這些模式。最後我們將看到美麗的東西!   但我也不想騙你:這不會是輕鬆愉快的任務。數學實在,是無邊無際的叢林,藏滿迷人的奧祕,不輕易讓人看見。你要有奮戰的心理準備,這會是一場知性與創造性的奮戰。說老實話,我不知道還有哪一項知識活動,這麼需要想像力、直覺和創造力。但我還是選擇了它,因為太喜歡而難以自拔。這片叢林讓人魂牽夢縈,一旦踏進去過,你就永遠忘不掉。   所以,我要邀你參與一場值回票價的冒險!我當然期望你也會愛上這片叢林,為它的魔力折服。我企圖在這本書傳達數學給我的感受,向你展示幾個最美、最令人興奮的數學發現。你不會看到注腳、參考出處之類的學術附注。這是我個人的表述。我只希望自己能設法用容易理解且又有趣的方式,傳遞這些有深度的迷人概念。   不過,這會是一趟緩慢的旅程。我並不想一路呵護你,不讓你接受真理的考驗,我也不打算為你可能面對的困境表示歉意。遇到新的概念,不妨就花幾小時甚至幾天來沉澱——有的概念起初可能歷經幾百年,才讓人接受呢。   我假定你熱愛美的事物,願意花心力理解。這趟旅程中,你需要具備的只有常識和好奇心。請放輕鬆!藝術是供人享受的,而這本書就在談藝術。數學不是賽跑或競賽,而是跟自己的想像力玩耍。希望你玩得開心! 漫談數學問題   何謂數學問題?對數學家而言,問題就是一種試探——去檢驗數學實在,看看它做出什麼行為。就好像「拿棍子戳一下」,看會發生什麼事。我們看到了數學實在的一小角,可能是幾何形狀的排列方式,或是數字模式之類的,想要進一步了解它背後的運作,於是我們戳它一下——只不過沒用手或是棍子,而是運用心智。   舉例來說,假設你在畫三角形,在這些三角形上進行各種實驗,譬如切割成小三角形,結果偶然發現了一件事:   你把各邊中點和它的對角連起來時,三條連線(中線)似乎全交於一點。又試了各式各樣的三角形,發現好像都會如此。這下子你遇到了一個謎團!但是我們先來釐清這個謎團的本質。它跟你畫在紙上的圖無關。用紙筆畫出的三角形能做或不能做些什麼,是和實體世界有關的科學問題。譬如你畫得很草率,三條中線就不會相交成一個點。我想你大可以畫得非常小心謹慎,再放在顯微鏡下看,但頂多只會把紙纖維和鉛筆的石墨成分看得更清楚,卻不會因此而更了解三角形。   真正的謎團,是環繞著這些過於完美、不存在於現實的三角形,而我們想問的問題是:在數學實在中,這三條完美的直線是否會交於一個完美的點。鉛筆或顯微鏡現在都派不上用場。(在整本書我會一直強調這種區別,可能會到讓你嫌囉唆的地步。)我們該如何解決這樣的問題?對於這樣的假想物件,有任何已知的知識嗎?是哪種形式的知識?   在繼續檢視這些提問之前,我們先花點時間,欣賞一下這道問題,領略何謂「數學實在」的本質。   我們撞見了一個密謀,顯然暗中有某種(未知的)結構上的運作,使這種情況發生。我認為這很了不起,但也有點嚇人。三角形究竟知道什麼事,是我們所不知道的?想到有這麼多漂亮而深奧的真理,等著我們去發現並融會貫通,有時還真讓我有點忐忑不安。   這個謎團究竟是什麼?我們想知道為什麼。為什麼一個三角形想這麼做?假如你是隨便把三根棍子丟到地上,棍子通常不會交疊在某一點,而是兩兩交叉,中間形成一個小三角形,不是嗎?   我們所尋找的是一種解釋。當然,倘若這現象根本不真確,我們可能就找不到解釋了。譬如我們只是一廂情願,或是被拙劣的繪圖手法給愚弄了。在實體世界裡有很多「敷衍之事」,所以也許只是三條直線相交成的那個三角形太小了,被鉛筆屑擋住,我們看不到罷了。但另一方面,它當然也有可能為真;它具備了數學家會去尋找的很多元素:自然性、優雅、簡單,以及某種令人信服的特質。所以它可能是對的,但問題同樣是:為什麼?   現在,學問來了。為了做出解釋,我們得創造某樣東西——要以某種方式建構一套論證或推理,可讓我們回答為什麼三角形會產生這種行為。這項任務非常艱鉅。其中一個理由是,若只是畫或做出一堆實體三角形,然後看它對不對,這樣是不夠的。這並不是在解釋,反而比較像是「近似驗證」。我們的疑問,是個更為嚴肅的哲學問題。   如果不知道為什麼三中線交於一點,又怎麼知道它們真的相交呢?「數學實在」不像實體世界,沒有實物可觀察。我們該如何了解一個純想像的領域?重點是,什麼是真確的,其實沒那麼重要。真正重要的是為什麼它為真。理由才是我們該問的。   我並不是要貶低人類感官的價值。我們十分需要繪圖、模型、影片等任何可取得的素材,來輔助直覺和想像。我們只需明白,這些東西並不是討論的主體,並不能告訴我們數學實在的真相。   所以,現在我們真的面臨困境了。我們認為自己可能發現了一個漂亮的真理,現在需要證明它。這就是數學家的工作,我希望你也樂在其中。   這件事做起來非常困難嗎?是很困難。有沒有撇步或方法可依循?並沒有。這是不折不扣的抽象藝術。藝術始終是一場奮戰。沒有什麼系統化的方法,可幫助你創作出充滿美感和意義的繪畫或雕塑作品,也沒有哪個方法可以讓你做出具備美感和意義的數學論證。很抱歉。數學是最難的藝術,這也是我喜愛它的原因之一。   所以對不起,我不能告訴你怎麼做,而且我不打算陪著你,或是在書末附上一堆提示或詳解。如果你打心底想畫一幅畫,畫布的背面也不會有畫帖讓你照著畫。假如你題目做到一半卡住了,苦思不得其解,那就歡迎你加入我們的行列。數學家也都不知道怎麼解自己的題目。如果能解開,就不叫做問題了!我們始終在未知的邊緣奮戰,我們總是陷入苦思,直到有所突破。我也希望你有很多突破,這感覺很棒。但是,做數學並沒有什麼特別的撇步,你必須多思考,希望靈感找上門。   不過我不會把你送進叢林之後就撒手不管。你必須帶著智慧和好奇心,這些都是你賴以求生的裝備,而我也許可以提供幾點普通的建議,替你指引方向。   我的第一個建議是:你自己訂的題目就是最好的題目。你是勇敢的心智探險家;這是你的腦袋和冒險。「數學實在」是你自己腦袋裡的產物,你想去探索就可以去。你的問題是什麼?目標在哪裡?我是很喜歡出題讓你思考,但這些僅只是拋磚引玉,讓你可以繼續自己栽種出叢林來。別怕解不開自己訂的題目——數學家經常如此。另外,盡量讓自己同時思考五或六個問題。假如你的頭反覆撞同一面牆,你會非常沮喪。(有五、六面牆輪流讓你撞,情況就好多了!)說正經的,一個問題做一段時間然後休息一下,總是有幫助的。   還有一個重要的建議是:互相幫忙。如果你有朋友也想要做數學,你們可以一起討論,分享當中的快樂和挫折,就像一起玩音樂一樣。有時候,我會耗六到八個小時與朋友研究一個題目,即使只有一丁點進展,我們還是會因為有另一個傻瓜作伴而感到很開心。   所以,難就難吧。盡量不要氣餒或是把失敗看得太嚴重。不只你無法理解數學實在,我們所有的人都跟你一樣。別擔心自己經驗不足或是「不夠格」。數學家的特質並不是學術技能或淵博知識,而是永不滿足的好奇心,以及對簡單之美的渴望。做自己,去你想去的地方。與其裹足不前、害怕挫折或是困惑,不如試著擁抱這份恐懼和神祕感,開開心心大玩特玩一番。是沒錯,你的想法會行不通,你的直覺會出錯,歡迎你加入我們的行列!我一天會有十幾個不成熟的想法,其他的數學家也都跟我一樣。

延伸內容

從「測量」看數學與數學之美
◎文/游森棚(任教於國立台灣師範大學與空軍官校)   測量是人類的本能:到那棵樹有多遠?有幾頭獅子?我有多高多胖?測量也是人類的挑戰:那個池塘面積有多大?海岸線有多長?下一次的日蝕是什麼時候?   讀者手上的這本書《這才是數學》,原文的書名就是「測量」(Measurement)。這本書用「測量」為經,帶領讀者穿越時光隧道,縱覽了從古希臘時代開始,一路到微積分的數學。   這本書的作者Paul Lockhart曾是幾何學家,寫過幾篇相當好的學術論文,並且曾在名校布朗大學任教。2000年起他離開學術界,到紐約布魯克林的Saint Ann's中學教書。他感嘆美國中小學的數學教學現場光怪陸離,根本摧毀了學生對數學的熱情與想像力,於是寫下了一份手稿「一位數學家的嘆息」(A Mathematician’s Lament),這份有名的手稿先在數學圈中流傳,而後於2009年出版。這本《Measurement》是他最新的,也是談數學與數學教育的科普書籍。   這是一本相當特別的數學科普書。不少數學科普書籍因為讀者程度的設定,常常花大量的時間在打轉:或者編造數學問題的情境;或者鋪陳數學家的生平,怪癖,或軼事。但是這些故事通常和「數學」本身沒有關係。這本書不然。作者非常明白地告訴讀者,他只談數學:數學的發現,數學的內容,數學為何美麗。   作者開宗明義說,數學世界只存在於心智中,點就是一個點,線就是一條完美的線,圓就是一個完美的圓,不像現實世界充滿了近似值。在這個世界中,你可以盡情玩耍,觀察後發現一些現象,然後做出猜測,然後證明,這一路的過程正是數學迷人的原因。更神奇的是,一旦論證是對的,所有的發現就是斬釘截鐵,就變成絕對正確的真理:三角形的三條中線就是會交於一點,直角三角形的兩短邊的平方和就剛好等於斜邊的平方和。作者雖未言說,但這正是柏拉圖的思想:在理型世界中,各種關係是永恆不變的,是絕對的真理。   作者帶領我們從簡單的形狀開始測量,線段的長度,三角形的角度和,多邊形與多面體。為了測量正方形的對角線就出現了無理數。為了測量圓周長出現了超越數。接著是面積,體積,開始有代數,三角,圓錐曲線和射影幾何。把曲線看成是質點的運動軌跡,就出現了函數,速度,微分,積分。最終停在指數與對數。   數學的發展一日千里,當代數學百家爭鳴,不僅有抽象數學的理論高度,更有應用數學的興起,與跨領域的整合。本書的題材從規則形狀的測量一路談到微積分,取材相當豐富,卻也是相當古典的,事實上,這離當代的數學的研究對象已經非常遙遠了。但是正因為這些是古典題材,更足以讓我們依循著古人的發現腳步,一窺數學的堂奧。但本書不掉書袋,娓娓道來,雖沒有太多人名和歷史故事,實際上卻橫跨了數學史數千年的發展,份量已經足以開一門數學史的課程了。   我極佩服作者能夠信手拈來,用非常直觀的方法把許多概念講得清清楚楚,用簡單的例子說明重要概念是怎麼成形的,以及一些根本的結果為什麼會是對的。比如說:怎麼對小學生解釋為什麼三角形的面積剛好是底乘以高的一半;怎麼對國中生解釋圓的面積是圓周率乘以半徑的平方;為什麼圓,橢圓,拋物線,雙曲線在射影之下是同一件事;微分公式是怎麼來的。有好多個結果解釋得非常漂亮,我自己都眼睛一亮。   作者堅持只談數學本身,這也是不少數學家面對數學教育的堅持,輔助的教學方法不能反客為主。此外,正如同欣賞音樂或文學要先能理解音樂或文學的語言:要能欣賞數學,也需要理解數學的語言,否則終究是碰不到核心。作者期待讀者也一起「動手做」,才能體會由發現到證明的數學之美,於是文中穿插了許多有趣的習題 (有些還不太容易)。以上這些,對於讀者都是不小的挑戰。   但無論如何,作者努力向我們傳達他的信念:數學是來自於觀察,發現,證明的心智活動,它的的美麗來自自身,來自過程中滿溢的想像與創造,以及對簡單真理的渴望。   數學是科學的根本,牽涉到邏輯思考,抽象力,想像力,觀察與創造或審美等等最基本重要的素養。但是台灣的教學現場上,教師常常急著呈現結果,而忘了帶領學生探索概念的形成,以及體會發現的樂趣。不少學生以為數學就是背公式解類似題,完全無法體會有何樂趣可言。更糟糕的是這就磨掉了觀察力與創造力,以及主動探索的能力——這真是令人遺憾的事。希望這本書的出版,能帶給第一線的數學教師們一些鼓舞與啟示。
去掉條條框框,看見數學的本質
◎文/洪萬生(國立台灣師範大學數學系退休教授)   何謂數學?保羅.拉克哈特現身說法,利用本書來解說他的答案:數學是一門研究模式的科學(science of pattern)。   不過,想要回答此一問題,我們也可以簡短回顧這種知識活動的歷史軌跡。考察古埃及、巴比倫乃至中國的數學的發展歷程,到公元前500年左右,所謂數學是指與數目相關的一種學問。以中國漢代數學經典《九章算術》為例,數學所指涉的活動幾乎都以「算術」為主。顯然,它的內容以實用為依歸,至於方法則依循「食譜」的特色:「對一個數目這樣做、那樣做,那麼,你將會得到答案。」   從大約公元前500年到公元300年間,是希臘數學的輝煌時期。古希臘的數學家主要關心幾何學,而且訴諸於嚴密推理與形式證明,以建立牢固的數學知識結構。因此,對於古希臘人而言,除了研究數目之外,數學主要是有關形狀的一門學問。   儘管如此,到十七世紀為止,數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態問題。相對地,牛頓與萊布尼茲在各自獨立發明的微積分這一門學問中,引進處理運動和變化的方法之後,數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、液體的流動、氣體的擴散、電力和磁力、飛行,乃至於動植物的生長等等自然現象。因此,在這兩位發明微積分的偉大數學家之後,數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間的一門學問。   不過,大約十八世紀中葉之後,有感於微積分的無遠弗屆威力,數學家著手瞭解其背後的原因究竟,從而對數學知識本身產生了遞增的興趣。於是,古希臘形式證明的傳統,捲土重來掌握了優勢。因此,到了十九世紀末為止,數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間、以及研究數學的工具的一門學問了。   在最近的四十年間,數學家對於「何謂數學」之說法,則一如前述:數學是研究模式的一門科學。誠如拉克哈特指出,數學家的職責就是探索或檢視抽象的模式。這些模式可以是真實存在或想像的、視覺性或心智性的、靜態或動態的、定性或定量的、純粹功利或有點超乎娛樂趣味的。它們可以源自我們的周遭世界,或者源自心靈的內部運作。不同種類的模式當然引出不同的數學分支,譬如說吧,幾何學研究形狀的模式;微積分允許我們處理運動的模式。而這兩種模式,正是拉克哈特在本書中現身說法之主要依據。   針對幾何學研究,拉克哈特強調它「與其說是關於形狀本身,不如說是關於定義形狀的遣詞用字模式(vocal pattern)。幾何的中心問題,是抓住這些模式並做出量度——這些數本身,也必須具有遣詞用字模式。」至於在本書下篇中,作者引進微(積)分方法,部分原因顯然出自對比(量度)方法論的考量。請看拉克哈特如何說明:「我總是喜歡拿古代研究幾何量度的方式,來和近代的研究方式比較一下。希臘古典想法是把量度按住,然後做分割;十七世紀的方法則是任它四處跑,觀察它的變化。」儘管如此,他在說明如何「量度」圓面積時,還是指出古典方法(如窮盡法)的深刻動人:「我們做的近似值並不只是少少幾個,而是無窮多個。我們其實做了一連串無止境的近似值,一次比一次接近,而從這些近似值可以看出一種模式,告訴我們最終會趨向什麼結果。換句話說,透露出某種模式的無窮多個『謊言』(lies),竟能告訴我們真理。」   對於拉克哈特來說,模式之為用大矣!在說明餘弦定律針對銳角、直角與鈍角三角形都有效時,拉克哈特強調:「要讓模式來決定我們對於意義的選擇。數學這門學問就是圍繞這個主題;我們甚至可以說,這是這門藝術的本質——聽從模式,來調整自己的定義和直觀。」   我希望上述簡短的說明及引述,多少可以傳達我如何喜愛這一本數學普及著作。事實上,作者罕見的敘事功力,讓本書處處洋溢著極其睿智的洞識,譬如在說明餘弦定律的意義時,拉克哈特就指出:「這個公式告訴我們一件事:角度與長度彼此沒有直接關係;角度必須透過餘弦,來間接傳遞訊息。就好像角度需要一位裝扮成餘弦的律師,代替它們去和長度打交道。角度與長度身處不同的世界,說著不同的語言。正弦和餘弦擔任字典的角色,把角度的語言轉換成長度語言。」我想一般的數學老師大概都能說出上引文字上半部分的含意,但是,下半部分的比喻,恐怕就不那麼容易想得到了。   其實,拉克哈特針對證明vs.敘事,也有著十分精彩的比喻:「數學證明就像在說故事。題目中的元素就是人物角色,故事情節則由你決定。」這是因為「就像任何一篇文學小說,我們的目標是寫出在陳述上令人信服的故事。」而「在數學上,這表示情節不僅要合乎邏輯,還必須簡明而優雅。沒有人喜歡看拐彎抹角又複雜的證明。我們當然想看到理性的思路,但也希望感受到美的震懾。一個證明應該兼顧美感與邏輯。」   總之,本書一如作者稍早出版的《一位數學家的嘆息》,十分坦誠且帶有強烈的個人風格。然而,對比前書的教育改革之基進主張,本書完全著重在數學探險之旅的驚喜與樂趣。儘管作者所舉的案例都取自古典數學(尤其是古希臘幾何學),不過,其論述之直指核心,以及敘事之詩意想像,都讓本書成為中學數學普及讀物的上上之選。因此,我要向大學數學通識師生與中學數學師生鄭重推薦本書,當你有機會閱讀本書時,你一定會發現:原來數學可以這樣學習!至於一般讀者呢,接觸本書一定可以體會:你在過往的數學知識活動中,究竟錯過了什麼!

作者資料

保羅.拉克哈特(Paul Lockhart)

他原本在美國的布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校擔任數學教授。從2000年開始,他自願到紐約布魯克林的聖安學校(St. Ann's School)教導K-12(從幼稚園到十二年級)的數學課。 他是一位傑出的數學家,發願來教中小學的數學,希望能呈現給孩子們數學的美感、和充滿想像力的一面,他非常批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教育方法。 他的處女作《一個數學家的嘆息》(經濟新潮社出版),一出版即在數學教育圈子造成轟動,引爆討論。 作者現身說法:The World of Mathematical Reality https://www.youtube.com/watch?v=V1gT2f3Fe44

基本資料

作者:保羅.拉克哈特(Paul Lockhart) 譯者:畢馨云 出版社:經濟新潮社 書系:自由學習 出版日期:2015-03-10 ISBN:9789866031663 城邦書號:QD1005 規格:平裝 / 單色 / 416頁 / 14.8cm×21cm
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