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數學教室A to Z:數學證明難題和大師背後的故事
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內容簡介

◆1994年美國出版商協會最佳數學圖書獎! ◆美國亞馬遜 數學參考書類top100! ◆英國亞馬遜 5顆星推薦! ◆邦諾書店 5顆星推薦! 數學科普名著《天才之旅》作者威廉.鄧漢,歷經十五年仍廣受好評之作! 揭開數學名家迷人風采下的神祕面紗, 一窥數學界的偉大定理、難題、爭議及未解謎團, 讀完不禁讓人大嘆,如果教授能這樣教數學該有多好! 明晰刻劃種種偉大定理、重大難題、爭議和未解謎團,勾勒出塑造迷人數學世界的具體因子。 威廉.鄧漢以獨到清晰手筆,發揮巧智,帶領你展開一段生氣勃勃的旅程,登高博覽數學出色成果。鄧漢上下五千年,探索古今獨特題材,從見於最早文獻的算術記載,到無窮級數繁複謎題,乃至於無理數的怪誕特色。全書處處可見他針對碩學大師生活起居,提出種種趣聞軼事,其中介紹了浮誇放浪的伯特蘭.羅素、爭執不休卻也燦爛耀眼的伯努利兄弟,還有天縱奇才索菲亞.柯瓦列夫斯卡婭。 本書介紹了代數、幾何基本知識,內容淺顯易懂,這趟簡短旅程能刺激思維,帶來獨特體驗,領會數學家的技藝,具有何等驚人、恢宏的力量。

目錄

◎出版緣起 開創科學新視野 ◎前言

◎A 算術Arithmetic ◎B 伯努利試驗BernoulliTrials ◎C 圓Circle ◎D 微分學Differentialcalculus ◎E 歐拉Euler ◎F 費馬Fermat ◎G 希臘幾何學GreekGeometry   ◎H 斜邊Hypotenuse ◎I 等周問題IsoperimetricProblem ◎J 辯證Justification ◎K 封爵的牛頓KnightedNewton ◎L 被人遺忘的萊布尼茲LostLeibniz ◎M 數學人物MathematicalPersonality ◎N 自然對數NaturalLogarithm ◎O 數學探源Origins ◎P 質數定理PrimeNumberTheorem ◎Q 商Quotient ◎R 羅素悖論Russell'sParadox      ◎S 球狀曲面SphericalSurface      ◎T 三等分問題Trisection       ◎U 數學的功用Utility    ◎V 文氏圖VennDiagram       ◎W 女數學家都上哪兒去了?WhereAretheWomen?       ◎X-Y X-Y平面X-YPlane    ◎Z 複數Z 

◎後記 ◎致謝 ◎注釋
◎索引

序跋

【前言】


  許多孩子都從簡單的字母書開始學習閱讀,他們舒服地坐在父母溫暖的膝上,逐一聆聽字母,從「A拼寫出alligator(鱷魚)」到「Z拼寫出zebra(斑馬)」。這類書籍或許不是偉大的文學作品,卻是教導孩子認識字母、詞彙和語言的有效啟蒙讀物。

  本書仿效這類孩童字母讀物,收錄系列短文,從A到Z概括論述數學學識。但內容部分比較精深(這時D不再代表doggie〔小狗〕,而是拼寫出differential calculus〔微分學〕),而且也不需要坐在溫暖的膝上。不過基本理念相同,依然是從A到Z的閱讀歷程。

  就專供讀者從頭到尾閱讀的書籍來講,這種格式帶來一項嚴苛的限制。畢竟,數學課題的發展進程,並不依循拉丁字母邏輯順序來映照顯現,因此,章節變換有時會顯得突兀。此外,儘管某些字母涵括眾多可能題材,有些卻也十分冷僻,這種狀況在孩童字母讀本也可以發現,比如「C拼寫出cat(貓)」,輪到X卻是「X拼寫出xenurus(犰狳)」。往後讀者就會注意到,其中論題有些是硬塞進去的,就像把一隻十六號的大腳,用鞋拔硬塞進八號的靴子裡。為配合字母順序來規畫論題流程,確實引發重大邏輯難題。

  本書開頭是(顯然)很簡單的算術題材。後續各章則反覆探討各項主題,還常有糾結交織的情況。相連各章有時彼此很能匹配,例如G、H和I三章,都談幾何學,還有K和緊接在後的L章,則是談十七世紀的以撒.牛頓和戈特弗里德.萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)兩位死對頭。有些章節集中論述單一數學家,比如E章的歐拉、F章的費馬,和R章的羅素。有的篇章論述特定成果,例如等周問題或阿基米德求得球狀曲面表面積的作法。還有的則探究比較寬廣的議題,好比數學人物,或者女性在這個學門的身影。另外,不論探討哪項題材,各章都撥出大量篇幅來探究歷史沿革。

  隨著論述發展,所有篇章起碼都會簡略提及數學的主要分支(從代數到幾何,乃至於機率和微積分)。這些段落的設計,著眼於解釋關鍵數學理念,帶有非正式教科書的意味,而且每個篇幅都零星出現實際的證明(或者至少是「小證明」)。舉例來說,D和L兩章便分別介紹微分和積分的算法,也因此背負的數學包袱較為沉重一些。

  然而,就多數章節而言,陳述時都刻意避開直接技巧推演。所有數學題材幾乎都屬於基礎層次,也就是針對腹中裝有些許高中代數和幾何學識的對象來講述。專業數學家在字裡行間應該找不到什麼驚奇內容。本書的目標對象,是對數學具有廣博興趣,程度至少和他們所受訓練相符的讀者。

  有幾項主題會一再出現書中:數學是種歷史悠久,卻又生機蓬勃的學問,處理的課題,包括日常重要事務,也包括沒有絲毫用處的事項;數學亦是一門汪洋浩博的學問,其寬廣程度,唯有其精深程度堪可比擬。依照字母順序安排章節,鋪陳道出這其中事理,就是本書的目標。

  為免輕忽之失,這裡不能遺漏約翰.保羅士(John Allen Paulos)的《超越數》(Beyond Numeracy, Knopf, New York, 1991)。他表示,這本書「部分是字典,部分是數學文集彙刊,還有部分則是數學學人的反思心得」。保羅士以生動著述,從A到Z描繪出一組數學課題──他在該書中的內容安排,是從algebra(代數)到Zeno(芝諾)。他為某些字母安排了多項條目,採這種作法,涵括範疇才更為寬廣;我則收納較少條目,不過文章篇幅較長,如此安排可提增深度。期望我們這兩本書,可以和平共存,構成同採字母編排的變化成果。

  當然,一名作家不可能探討所有關鍵要點、介紹所有重要人物,或兼顧數學界所有迫切議題。每有轉折都必須做出抉擇,而影響抉擇的要件包括,內部一致需求、題材的複雜程度、作者的興趣和專業,還有全然人為的字母順序布局。這類計畫總有遺珠,而且缺捨的數量,甚至有獲採納條目的數千倍之多;同時,大批有潛力的論題,也在剪輯室中,命喪於文字處理人員之手。

  到頭來,這本書就成為一個人隻身面對浩瀚數學宇宙的反應成果。本書描繪出一段旅程,代表在無數作家、無窮盡可能的旅程當中,最後真正落實的選擇。同時,這裡我並不聲稱,自己確實恪遵從A到Z的廣博路徑來鋪陳內容。

  暫且把這些限制要件擺在一旁,我希望這些章節,能夠彰顯所述題材的無窮魅力,起碼要讓讀者略瞥箇中妙處。十九世紀數學家索菲亞.柯瓦列夫斯卡婭(Sofia Kovalevskaia)便曾指出:「許多無緣更深入認識數學的人士,分不清數學和算術的差異,還誤以為這是一門枯燥冷僻的科學。事實上,這卻是門需要最高強想像力的科學。」1本書或許還有一項功能,藉此可以彰顯十五世紀希臘哲人普羅克洛斯所述見識:「單憑數學,便能重振生機、喚醒靈魂……洞見生命。還能化形影為實在,化黑暗為智慧光芒。」2

內文試閱

Arithmetic 算術


  就我們看來,數學都是從算術開始,本書也是如此。我們都知道,算術處理的是最基本的數量概念──1、2、3……等全數。若說數學帶有任何普適理念,那就是區辨多重性高下程度的觀點,也就是「計數」。

  全數必然具備一項固有特點,那就是無從否認的自然性,這就是利奧波德.克羅內克(Leopold Kronecker)那句名言的核心思想:「上帝創造了整數,而其餘的都是人為的成果。」1若我們把數學想像成是一支陣容壯盛的交響樂團,那麼全數系統就可比擬為一面大鼓:簡單、直接、反覆,提供其他所有樂器的根本節奏。此外肯定還有更精妙的概念──數學的雙簧管、法國號和大提琴等,這其中有些部分,在往後章節還會分別檢視。不過,全數始終是最基礎的。

  數學家稱1、2、3 ……這種無限群組為正整數,不過,自然數或許是更貼切的用詞。對它們有了初步認識,還取了個名字之後,接下來我們就改換焦點,思考如何以某些重要方式來結合正整數。最基本的是加法。這項運算不只是種基本作法,考量到數字生來都是累加而成,所以加法也是種「自然的」作法,亦即2=1+1、3=2+1、4=3+1等等。我們甚至可以說,若強健的純種馬是「天生跑手」,自然數則是「天生累加手」。

  我們在小學階段(幾乎)總是加個不停,接著就反向操作,做逆向的減法運算。接下來,課程進入乘法和除法,還加上似乎永無止境的習題演練。就這樣經過多年教學,孩童就掌握了算術運算作法,不過也多少帶些瑕疵缺點。還有,儘管台幣兩百四十九塊錢的計算機,只需瞬息片刻就能完美無暇算出所有結果,孩子們依然勇往學習。只可惜,在許多年輕人的心目中,算術卻成為演練和沉悶的代名詞。

  然而,在不算很久以前,「算術」一詞涵納的意義,還不只是加、減、乘、除基本運算而已,裡頭還包含了全數更深奧的特質。舉例來說,歐洲人從前使用的詞彙是「高等算術」,意思不折不扣就是指「高深的算術」。如今大家偏愛的用詞則是「數論」。

  這個題材牽涉廣泛,不過多少都以質數理念做為支軸。凡是大於1的全數,只要無法寫成兩個較小全數的乘積,都為「質數」。因此,前十個質數就是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。這所有數字,除了1和本身之外,就無法再被任一正整數除盡。

  好議論的讀者或許會辯稱,17也可以寫成兩數的乘積,比方說17=2 × 8.5或17=5 × 3.4。不過,這些例子裡面的因子,本身都不是整數。各位必須記得,在數論登場的角色,都由全數來擔綱演出;至於程度更高深、牽涉範圍也更廣泛的親屬數系(分數、無理數和虛數),都只能待在台下乾著急。

  倘若某個大於1的全數並非質數,也就是說,倘若某數除了1和本身之外,還擁有其他整數因子,這時我們就說那個全數是「合成的」。舉例來說,24=4 × 6和51=3 × 17都是這種數。全數1並不列入這群質數或合數之林,箇中道理稍後就可以清楚得知。這樣一來,最小的質數就是2。

  有種方式可以具體審視這些概念,這種作法很簡單,也經常為人引用,那就是設想以正方形地磚拼出長方形面積。若是有十二塊地磚,這時我們就有幾種選擇來排成不同的矩形,如圖一所示。當然,這是由於12=1 × 12或12=2 × 6或12=3 × 4(我們認為3 × 4和4 × 3並沒有差別,因為這兩種情況,拼出的地板形狀是相同的,只是其中一種得轉個方向)。相同的道理,四十八片地磚能拼出五種平面圖,相當於以下分解方式:48=1 × 48=2 × 24=3 × 16=4 × 12=6 × 8。

  另一方面,用七片地磚,只能拼出一種平面圖:結果顯而易見,也就是不十分有趣的1 × 7,如圖二所示。若有人必須用整整七片地磚來鋪設矩形房間地面,那麼他心中盤算的房間,最好是非常狹長才行。從這點看來,倘若p數只能規畫出一種平面圖,那麼p就是質數:稀鬆平常的p=1 × p。若是使用某數可以規畫出不同的平面圖,這個數就是合成的。

  質數或許是高等算術的核心,不過,質數也是數學最大亂象的禍首。理由很簡單:既然全數不折不扣就是加法運算的產物,那麼質數和合數的問題,就把「乘法」推上舞台。儘管數論相當迷人,卻也十分艱深,因為數學家總想運用乘法理念,來檢視加法得出的產物。

  從這個觀點來看,自然數就像是離水的魚。自然數是藉由加法步驟孕育生成,卻發現自己身處陌生的乘法環境。當然,先別認為這個冒險行為是毫無指望的,想想在三億五千萬年之前,魚類的確是從水中上陸,當年牠們在不完全適合本身構造的世界,費勁喘了幾口氣,接著演化成兩棲類、爬蟲類、鳥類、哺乳類,還演化出數學家。惡劣陌生的環境,有時會醞釀出全然不同的結果。

  若是沒有出現算術基本定理這樣的產物,質數在數論當中,肯定會扮演比較偏離核心的地位(請注意,前面「算術」一詞,是採用比較廣義的觀點)。從這個名字來看,算術基本定理是整個數學界,最基本又最重要的命題。命題敘述十分簡潔:

  算術基本定理:任意不等於1的正整數,都可以寫成質數的乘積,而且寫法僅得一種。

  這裡我們有個兩面刃主張。首先,任意全數都可以寫成質數的「某種」乘積。第二,寫法僅得「一種」。於是我們就必然得出結論,認為質數是乘法的建構砌磚,所有全數都是按照這種步驟組裝成形,質數的重要性就是棲身在這裡。質數扮演的角色,和化學元素可以相提並論。我們知道,任意自然化合物都可以分解成周期表上的九十二種自然元素成分(或者包括在實驗室生成的總計一百多種元素);相同的道裡,任意全數同樣也可以分解成質數因子。水分子可以寫成H2O,這種化合物可以分解出兩顆氫元素原子,加上一顆氧元素原子。相同道理,化合的(也就是合成的)數45,也可以分解成兩個質因數3和一個質因數5的乘積。我們可以仿效水的化學標記法,寫成45=325,不過,數學家偏愛採用指數式寫法45=32 ×5。

  不過,除了提出分解成質數的作法之外,算術基本定理還有其他同樣重要的貢獻,那就是這項定理保證,每種分解方式都是獨一無二的。倘若有人做質數因子分解,求得92,365可以分解為5 × 7 × 7 × 13 × 29,那麼,在辦公室或國土另一個角落的人,無論是在今日或距今一千個世紀之後動手運算,求得的質數分解結果,肯定也是完全一模一樣。   這讓數學家非常安心。當然,還有一種情況也同樣令人安心,當化學家把水分子分解成一顆氧原子和兩顆氫原子,另一位化學家也拿水分子來分解,結果並不會分解出一顆鉛原子和兩顆鉬原子。質數就像元素,不只是種建構砌磚,更是獨一無二的砌磚。

  這裡有必要指出,為了求得唯一因子分解結果,我們就必須把1排除在質數之外。因為,倘若把1納入質數之列,那麼舉例來說,數14的質數分解,除了14=2 × 7之外,還會有14=1 × 2 × 7和14=1 × 1 × 1 × 2 × 7等等「不同的」質數分解結果。如此則質因數分解就不再是獨一無二的。數學家說,讓1扮演特殊角色,結果就好得多了。數字1不是質數,也不是合數,它叫做「單元數」。

  數學家面對一個正整數時,偶爾會希望判定這是個質數或合數,若是合數,他們還會想找出所含的質數因子。這有時很容易解決。任意偶全數(2除外)都有個因數2,因此顯然都非質數;同時,最後一位等於5或0的任意全數,同樣也都是合成的。就其他情況來看,這道質數性的問題,難度就遠高於此。例如,誰願意費心斷定4,294,967,297和4,827,507,229哪個是質數,哪個不是?*

  * 信不信由你,641可以把4,294,967,297除盡;另一個數4,827,507,229則是質數。見大衛.韋爾斯(David Wells)《有趣怪數企鵝大辭典》(The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin, New York, p.192)一書。

  十九世紀的數學家卡爾.高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)或許是有史以來最偉大的數論學者,他在一八○一年的鉅著《整數論研考》(Disquisitiones Arithmeticae)一書中坦白道出:

  區辨質數和合數之別,把合數解析成所含質數因子,這是已知最重要,也最有用的算術問題……看來科學本身的尊嚴,有賴全心投入,探究一切可能作法,設法解決這麼優雅,又這麼著名的問題。2

  隨後在超過二十四個世紀期間,從古代希臘人到現代數論學家,數學界對這類問題始終無法抗拒,甚至可以比擬為飛蛾撲火,或者白襯衫吸引義大利麵醬汁沾染上身。這一路走來,學者已經針對質數提出眾多猜想。有些已獲證實,有些則已然證明為非,還有為數驚人的構想,依然未解。

  舉個例子,法國教士馬蘭.梅森(Marin Mersenne, 1588-1648)在一六四四年提出一道耐人尋味的問題。梅森在十七世紀科學界扮演重要的角色,這不單是基於他對數論所做的貢獻,還因為他在當時數學界發揮資訊交流中心重大功用所致。每當學者對數學現況感到好奇,或者對一道難題茫無頭緒時,都會寫信給梅森,有時梅森知道答案,否則他也能指點他們向有條件回答的權威人士求教。當年還沒有科學集會、專業期刊,甚或電子郵件,所以他所扮演的這種資訊管道的價值,可說是高得無以復加。

  梅森迷上了2n – 1算式包含的數群,也就是2的乘冪減1所得數群。如今,為了紀念他,這群數就稱為「梅森數」。這種數顯然全都是奇數。更重要的是,其中有些還是質數。

  梅森馬上認出,若n為合數,那麼2n – 1也必為合數。舉例來說,若n=12,梅森數212 – 1=4,095=3 × 3 × 5 × 7 × 13就是合數(因為12是個合數);就合數n=33來看,233 – 1=8,589,934,591=7 × 1,227,133,513同樣也不是質數。

  然而,當指數是質數時,結果就不那麼明確了。設p=2、3、5和7,結果就得出一群「梅森質數」,22 – 1=3、23 – 1=7、25 – 1=31,還有27 – 1=127。不過,若是我們以質數p=11做為指數,結果就得到211 – 1=2,047;唉,這個數是23和89的乘積,因此是個合數。梅森完全明白,當p為質數時,並不保證2p – 1也是質數。事實上,他還曾經斷言,介於2和257的質數群當中,能夠讓2p – 1也為質數的p值,只有p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127和257。3

  遺憾的是,梅森神父的結論有罪,包括職務之過和疏失之罪。例如,他漏看了一件事例,261 – 1是個質數。後來又發現,267 – 1根本不是質數。後面這點,在一八七六年由愛德華.盧卡斯(Edouard Lucas, 1842-1891)確認,他採論述來證明這是個合數,作法拐彎抹角,完全沒有明確指出任一因數。於是,就某種意義來說,267 – 1的故事,結局仍屬未定,值得暫時離題,來談談它最後一段重要發展。

  那是在一九○三年,背景是美國數學學會的一次集會。那次議程的講員,有一位是來自哥倫比亞大學的佛蘭克.柯爾(Frank Nelson Cole)。輪到柯爾發表時,他走到講堂前,靜靜把2累乘67次,然後減1,最後得出147,573,952,588,676,412,927劃時代的結果。目睹這次沉默的計算過程,聽眾滿頭霧水。接下來又見柯爾在黑板上寫道:

  193,707,721 × 761,838,257,287

  這次他也是靜靜地計算。乘積不是別的,正等於

  147,573,952,588,676,412,927

  隨後柯爾便回到位子上坐下。他的表演,真可當成默劇演員大會的理想演出劇目。

  聽眾席上,來賓才剛剛親眼目睹,梅森數267 – 1明明白白經過因子分解,得出兩個巨大因數,霎時間,他們就像柯爾那般靜默無語。接下來,席上爆出掌聲,來賓盡情鼓掌,起立向他致敬!期望這項表彰舉止,讓柯爾的心溫暖起來,因為,後來他曾坦承,在這之前的二十年期間,他都不斷從事這項計算工作。4

  儘管柯爾完成因子分解,梅森數依然是質數研究的一項豐碩成果。幾無疑問,每當一份報紙刊登有人發現嶄新「最大」質數的消息,最後總要發現,那是個2p – 1型式的數。直到一九九二年止,已知最大質數是2756839 – 1,那是個位數多達227,832的巨獸數。5不過,就比較一般化的問題來看,哪些梅森數是質數,哪些則否,依然是數論的未解難題。

  梅森數27 – 1也包含另一個質數方面的故事。十九世紀中期,法國數學家波利尼亞克(A. de Polignac)斷言:

  所有奇數都能以2之乘冪與一質數之和來表示。6   舉例來說,數15可以寫成8+7=23+7,此外53=16+37=24+37,而且4,107=4,096+11=212+11。

  儘管波利尼亞克並未聲稱自己證明了這個迷人的猜想,然而他卻隱約指稱,自己曾經把三百萬以下的所有奇數都拿來核算。

  既然凡是2的乘冪,經過質數分解都得不出任何奇數,因此這種乘冪值,總歸是最道地的純偶數群。波利尼亞克的陳述隱約指出,任意奇數都可以用一個質數(最基本的建構砌磚),加上一個(只能是偶數的)2的乘冪來建構。好大膽的陳述。

  但這項陳述也是一錯到底。倘若波利尼亞克果真投入必要時間,檢核他的論斷達數百萬位數,那麼我們只能可憐他,因為相對微小的梅森質數127,就能駁倒他的主張;數127完全無法寫成一個2的乘冪加上一個質數。事實清楚分明,只需分解127,寫成2的乘冪和一個餘項,列出所有可能的算式,我們就可以看出,餘項全都不是質數:

127=2+125=2+(5 × 25)
127=4+123=22+(3 × 41)
127=8+119=23+(7 × 17)
127=16+111=24+(3 × 37)
127=32+95=25+(5 × 19)
127=64+63=26+(3 × 21)

  (由於27=128,得數大於127,這裡我們沒必要再繼續下去。)如今,波利尼亞克的猜想已經被丟進數論的垃圾堆中,因為他錯過了一個反例,就數學觀點來看,這項反例根本是近在眼前。就像十九世紀的撲翼飛機,他的雄心主張,始終沒有離地升空。

  前面我們把化學物質分解成元素的唯一性,拿來和整數以因子分解化為質數的唯一性相提並論。這種化學比喻確有幫助,但就一個重要層面來看,兩邊卻無相似之處:有史以來,所有化學家投身實驗,致力擴充元素種類,最後成果加總起來,元素數才剛超過一百,然而質數卻有無窮多個。就化學元素方面,周期表可以貼上中等大小壁面,至於數學質數,同類表格就需要一面延伸永無止境的牆壁,才貼得上去。

  質數無限性的最早證明,緣自希臘數學家歐幾里德(約西元前300年),出現在他的經典著作《幾何原本》(Elements)。7這裡就提出他的證明,但是我們的版本略有改動,不過仍保有他原始論證的威力和美感。

  要理解這段推論,必須先提出數論研究所得的兩項成果,此兩者都不是非常深奧。第一項是,就任意全數n而論,n的兩個倍數之差,本身就是n的倍數。以符號表示,若a和b都是n的倍數,則a – b也是。舉例來說,70和21都是7的倍數,因此兩數的差70-21=49,也是7的倍數;相同道理,216和72都是9的倍數,則216-72=144,也是9的倍數。

  這項論據的普適證明,這裡就不予討論,不過,檢定很簡單,也很可信。

  另一項先決要件同樣也十分簡單。就這點來講,任意合數至少都含有一個質因素。這裡我們也舉例來說明。合數39有質因素3,合數323有質因素17,合數25有質因素5。就這項定理,歐幾里德提出了一項很巧妙的證明,納入《幾何原本》第七冊,列為第三十一項命題。

  除此之外,我們只需確立,質數的無限性是經由歸謬反證所得理解,這就夠了。這樣一來,我們就必須採信邏輯的最基本二分法:一句陳述非真即假。

  有種作法可以證明陳述為真,那就是直接證實所述。這點顯而易見,也是老生常談。另一條門路也很可信(所謂的「歸謬法」,或稱「反證法」),也就是假定陳述為「假」,接著循此假定,採邏輯法則,導出不可能的後果。既然出現這種後果,我們就可以推知,推理環節有個地方出了點問題,倘若我們的步驟都很可靠,那麼禍首就只可能是「陳述為假」這項原始假定。因此,我們必須拒絕這項謬誤假定,於是根據前面提到的二分法,我們只剩下一種可能性:事實上該陳述必然為真。這裡要承認,這項對策拐彎抹角、迂迴曲折,看來似乎有點古怪。為了彰顯這種間接特性,我們先審視以下實例,接著再回頭討論質數的無限性課題。

  假設我們正在研究完全平方兼完全立方的數群,比方說,64等於82,也等於43,還有729等於272,也等於93,以下就稱這類數為「平立方數」(sqube)。我們的目標是證明:

  定理:平立方數有無限多個。

  證明:這裡採用完全直接的簡單證法。我們只需注意,若n為任意全數,則n6=n3 × n3=(n3) 2 為一完全平方數,且n6=n2 × n2 × n2=(n2) 3 同時也是個完全立方數。所以,我們得到為數無窮的平立方數,如下所示:

16=12=13
26=64=82=43
36=729=272=93
46=4,096=642=163
56=15,625=1252=253
66=46,656=2162=363
76=117,649=3432=493
86=262,144=5122=643

  並依此類推。

  顯然,這套步驟可以無止境延續,因為每為n選定一個數值,都會產生新的不同n6。平立方數無限性直接證明完畢。   遺憾的是,質數無限性並沒有這種直接證明法。歐幾里德和往後其他所有人士,都找不出有哪項簡單的公式,能夠像我們的n6公式導出大批平立方數那般導出大批質數。這裡不能採用正面攻擊手法,只能仰賴歸謬法做間接攻擊──這比較複雜,也比較微妙,不過到頭來卻也漂亮得多。事實上,這種證明經常被當成一種「石蕊試驗」,拿來檢定數學的靈敏度:真正具有數學熱情的人,見此都會感動落淚;沒有這種熱情的人,見此會厭煩得落淚。我們讓讀者自己來評斷。

  定理:質數有無限多個。

  證明:(採歸謬法)改假定質數的個數有限,並設質數都以a、b、c、……d來表示。這群數可能含有四百個或四十萬個質數,不過,我們假定所有這些質數全都包含在內。現在,我們開始朝歸謬邁步前進。

  把這批質數相乘起來再加1,得到新的數:

N=(a × b × c ×……× d)+1

  注意,由於我們的數值數量有限,確實可以採用這種作法,把它們相乘起來;若是為數無限的質數,就無法這麼做。

  顯然,N大於任意個別質數(包括a、b、c、……或d),所以N和這所有質數都不相等。既然質數就只有這些,我們得到結論,N並非其中任一質數。

  這就表示,N必然是個合數,那麼,根據我們前面談到的第二項先決要件,N有一個質因數。由於我們假定,世界上所有質數,全都包括在a、b、c、……d裡面,N的這個質因數,必然也位於其中某處。

  換個說法,N是質數a、b、c、……或d當中某一數之倍數。究竟是哪個質數的倍數,完全沒有關係,不過,為了具體說明起見,這裡假定N是c的倍數。既然c看來就是其中一個因數,那麼a × b × c ×……× d乘積,顯然也是c的倍數。根據前面舉出的第一先決要件,N和a × b × c×……× d之差,肯定也是c的倍數。然而,我們定義N只比這個乘積大1,因此這個差就等於1。

  於是我們導出結論:1是c的倍數(或N之其他任一質因素之倍數)。這顯然是不可能的,因為最小的質數是2,也因此1並非「任何」質數的倍數。看來這裡面出了差錯。

  回頭審視前面的論證,我們看出,只有一處出了問題,那就是「質數個數有限」的原始假定。因此,我們拒絕這項假定,依反證法歸出結論:質數必然有無限多個。證明完畢。

  這項美妙的推理既淺顯又深邃。這能證明質數為數無窮,取之不盡。如今已經用最強大的電腦確認,2756839 – 1是個質數,沾沾自喜之餘,我們可以斷言,還有更大的質數(而且是多得數不清的更大質數)尚待發現。就算我們無法指明這較大的質數是哪些,大家也別認為我們這是在推託。由於邏輯和歸謬法的微妙貢獻,我們知道確實存有那種質數。

  數論能產出這般單純漂亮的結果,所以年輕學者鑽研高等數學,一向都從此處登堂入室。這其中有一位是美國數學家茱莉雅.羅賓遜(Julia Robinson, 1919-1985)。一九七○年,羅賓遜是學界一個三人組的成員,他們的使命是解答一道非常艱深的難題,稱為「希爾伯特第十問題」。這道問題出自數論,更早七十年之前,就由大衛.希爾伯特(David Hilbert, 1862-1943)率先提出,迄至當時依然沒有解決。羅賓遜還很小的時候,就迷上全數的美妙特性。「數論的若干定理特別讓我感到興奮,」她寫道,「而且晚上我和康絲坦斯〔她的姊姊〕爬上床後,我還會對她講述這些定理。很快她就發現,如果她還不想睡覺,只要問我數學問題,我就會保持清醒。」8

  另有一位是匈牙利數學家保羅.埃爾迪什(Paul Erdős, 1913-)。有次埃爾迪什回顧自己漫長的事業生涯,追憶道:「我十歲的時候,父親對我說明歐幾里德的〔質數無限性〕證明,我就這樣入迷了。」9

  埃爾迪什在童年階段已經開創智慧成就,至於社交方面則是與世隔絕。十七歲的大學新鮮人,多半只期望能熬過青春期,而埃爾迪什在那個年紀,已經在數學界出人頭地。他設想出一項基本證明,斷定在任意全數n和2n之間,總是存有至少一個質數。舉例來說,在8和16之間,或者80億和160億之間,都至少存有一個質數。

  這看來好像是個相當膚淺的定理。沒錯,將近一個世紀之前,一位俄羅斯數學家已經證明這點,那個人的名字很美,叫做帕納帝.切比雪夫(Pafnuty Lvovich Chebyshev),他的姓氏在數學文獻出現時,拼法各不相同,包括Chebychev、Tchebysheff、Cebysev和Tshebychev,這些應該都是語文音譯誤差,可不是由於他特別愛起別名。不過,切比雪夫的證明非常複雜。埃爾迪什的論證就相當奇妙,不但簡單得多,而且是那麼年輕的人所設想出來的。

  這裡要順道一提,他的定理還衍生出質數無限性的另一種證法,因為這能擔保在2和4之間有個質數,在4和8之間還有一個,而且在8和16之間又有一個,並以此類推。就算我們不斷倍乘數值,結果依然如此,因此質數肯定也有無限多個。

  這就成為埃爾迪什長串定理的第一項。後來他成為二十世紀產量最豐,也或許是最古怪的數學家。就算在這個可以接受反常行為、見怪不怪的專業領域,埃爾迪什都可以列入傳奇。舉例來說,這位年輕學者受到嚴密保護,直到二十一歲(證明前述質數定理四年之後),他才第一次自己在麵包上塗抹奶油。後來他回想道:「當時我才剛前往英國讀書。那是在用茶時間,備有麵包。我實在太尷尬了,不敢承認自己從來沒有塗奶油的經驗。我試做了。並不是太難。」10

  埃爾迪什還有一點同樣稀罕,他居無定所,只隨身帶著一只手提旅行箱,四處環球旅行,逐一拜訪各地數學研究中心。他有把握每到一處,總有人會安排讓他過夜。由於他周遊不絕,這位漂泊數學家,便成為史上無人能及、曾與最多同行合作、發表過最多合著論文的學者。他證明源出《聖經》的一句諺語確鑿無誤──人不是光靠(給)麵包(塗奶油)過活。

  數學界的回報可說是異想天開,設想出所謂的「埃爾迪什數」來表彰他的貢獻。埃爾迪什本人的埃爾迪什數等於0;凡是曾和他聯手發表論文的數學家,埃爾迪什數都等於1;若是雖不曾直接與埃爾迪什合作,卻曾經和埃爾迪什合著論文的合作夥伴聯手發表論文,那位數學家的埃爾迪什數就等於2;若有人發表了合著論文,合作對象是曾經和埃爾迪什合著論文的合作夥伴聯手發表論文的人,那麼他的埃爾迪什數就等於3……以此類推。就像一棵巨大的櫟樹,埃爾迪什樹的分支,蔓延遍布整個數學界。

  所以,有了質數、合數、梅森數,甚而加上埃爾迪什數,情況清楚分明,對數論的熱情,沒有絲毫退燒風險。因為,在數學家眼中,包括從高斯到羅賓遜,從歐幾里德乃至於埃爾迪什看來,沒有哪個數學部門,能像高等算術那般漂亮、優雅,帶有那般無盡迷人風采。

作者資料

威廉.鄧漢(William Dunham)

美國賓州艾倫鎮穆倫堡學院(Muhlenberg College)杜魯門.柯勒數學教授(Truman Koehler Professor of Mathematics)。 1993年獲得美國數學協會(Mathematical Association of America)喬治.波利亞(George Polya)數學獎,表彰他撰寫數學評註的出色表現。他還榮獲美國國家人文基金會贊助。

基本資料

作者:威廉.鄧漢(William Dunham) 譯者:蔡承志 出版社:商周出版 書系:科學新視野系列 出版日期:2009-09-10 ISBN:9789866369414 城邦書號:BU0093 規格:膠裝 / 單色 / 320頁 / 17cm×23cm
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