◆1994年美國出版商協會最佳數學圖書獎！ ◆美國亞馬遜　數學參考書類top100！ ◆英國亞馬遜　5顆星推薦！ ◆邦諾書店　5顆星推薦！ 數學科普名著《天才之旅》作者威廉．鄧漢，歷經十五年仍廣受好評之作！ 揭開數學名家迷人風采下的神祕面紗， 一窥數學界的偉大定理、難題、爭議及未解謎團， 讀完不禁讓人大嘆，如果教授能這樣教數學該有多好！ 明晰刻劃種種偉大定理、重大難題、爭議和未解謎團，勾勒出塑造迷人數學世界的具體因子。 威廉．鄧漢以獨到清晰手筆，發揮巧智，帶領你展開一段生氣勃勃的旅程，登高博覽數學出色成果。鄧漢上下五千年，探索古今獨特題材，從見於最早文獻的算術記載，到無窮級數繁複謎題，乃至於無理數的怪誕特色。全書處處可見他針對碩學大師生活起居，提出種種趣聞軼事，其中介紹了浮誇放浪的伯特蘭．羅素、爭執不休卻也燦爛耀眼的伯努利兄弟，還有天縱奇才索菲亞．柯瓦列夫斯卡婭。 本書介紹了代數、幾何基本知識，內容淺顯易懂，這趟簡短旅程能刺激思維，帶來獨特體驗，領會數學家的技藝，具有何等驚人、恢宏的力量。

◎出版緣起　開創科學新視野
◎前言

◎A　算術Arithmetic
◎B　伯努利試驗BernoulliTrials
◎C　圓Circle
◎D　微分學Differentialcalculus
◎E　歐拉Euler
◎F　費馬Fermat
◎G　希臘幾何學GreekGeometry  
◎H　斜邊Hypotenuse
◎I　等周問題IsoperimetricProblem
◎J　辯證Justification
◎K　封爵的牛頓KnightedNewton
◎L　被人遺忘的萊布尼茲LostLeibniz
◎M　數學人物MathematicalPersonality
◎N　自然對數NaturalLogarithm
◎O　數學探源Origins
◎P　質數定理PrimeNumberTheorem
◎Q　商Quotient
◎R　羅素悖論Russell'sParadox     
◎S　球狀曲面SphericalSurface     
◎T　三等分問題Trisection      
◎U　數學的功用Utility   
◎V　文氏圖VennDiagram      
◎W　女數學家都上哪兒去了？WhereAretheWomen?      
◎X-Y　X-Y平面X-YPlane   
◎Z　複數Z 

◎後記
◎致謝
◎注釋
◎索引

【前言】

　　許多孩子都從簡單的字母書開始學習閱讀，他們舒服地坐在父母溫暖的膝上，逐一聆聽字母，從「A拼寫出alligator（鱷魚）」到「Z拼寫出zebra（斑馬）」。這類書籍或許不是偉大的文學作品，卻是教導孩子認識字母、詞彙和語言的有效啟蒙讀物。

　　本書仿效這類孩童字母讀物，收錄系列短文，從A到Z概括論述數學學識。但內容部分比較精深（這時D不再代表doggie〔小狗〕，而是拼寫出differential calculus〔微分學〕），而且也不需要坐在溫暖的膝上。不過基本理念相同，依然是從A到Z的閱讀歷程。

　　就專供讀者從頭到尾閱讀的書籍來講，這種格式帶來一項嚴苛的限制。畢竟，數學課題的發展進程，並不依循拉丁字母邏輯順序來映照顯現，因此，章節變換有時會顯得突兀。此外，儘管某些字母涵括眾多可能題材，有些卻也十分冷僻，這種狀況在孩童字母讀本也可以發現，比如「C拼寫出cat（貓）」，輪到X卻是「X拼寫出xenurus（犰狳）」。往後讀者就會注意到，其中論題有些是硬塞進去的，就像把一隻十六號的大腳，用鞋拔硬塞進八號的靴子裡。為配合字母順序來規畫論題流程，確實引發重大邏輯難題。

　　本書開頭是（顯然）很簡單的算術題材。後續各章則反覆探討各項主題，還常有糾結交織的情況。相連各章有時彼此很能匹配，例如G、H和I三章，都談幾何學，還有Ｋ和緊接在後的L章，則是談十七世紀的以撒．牛頓和戈特弗里德．萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）兩位死對頭。有些章節集中論述單一數學家，比如Ｅ章的歐拉、Ｆ章的費馬，和R章的羅素。有的篇章論述特定成果，例如等周問題或阿基米德求得球狀曲面表面積的作法。還有的則探究比較寬廣的議題，好比數學人物，或者女性在這個學門的身影。另外，不論探討哪項題材，各章都撥出大量篇幅來探究歷史沿革。

　　隨著論述發展，所有篇章起碼都會簡略提及數學的主要分支（從代數到幾何，乃至於機率和微積分）。這些段落的設計，著眼於解釋關鍵數學理念，帶有非正式教科書的意味，而且每個篇幅都零星出現實際的證明（或者至少是「小證明」）。舉例來說，D和L兩章便分別介紹微分和積分的算法，也因此背負的數學包袱較為沉重一些。

　　然而，就多數章節而言，陳述時都刻意避開直接技巧推演。所有數學題材幾乎都屬於基礎層次，也就是針對腹中裝有些許高中代數和幾何學識的對象來講述。專業數學家在字裡行間應該找不到什麼驚奇內容。本書的目標對象，是對數學具有廣博興趣，程度至少和他們所受訓練相符的讀者。

　　有幾項主題會一再出現書中：數學是種歷史悠久，卻又生機蓬勃的學問，處理的課題，包括日常重要事務，也包括沒有絲毫用處的事項；數學亦是一門汪洋浩博的學問，其寬廣程度，唯有其精深程度堪可比擬。依照字母順序安排章節，鋪陳道出這其中事理，就是本書的目標。

　　為免輕忽之失，這裡不能遺漏約翰．保羅士（John Allen Paulos）的《超越數》（Beyond Numeracy, Knopf, New York, 1991）。他表示，這本書「部分是字典，部分是數學文集彙刊，還有部分則是數學學人的反思心得」。保羅士以生動著述，從A到Z描繪出一組數學課題──他在該書中的內容安排，是從algebra（代數）到Zeno（芝諾）。他為某些字母安排了多項條目，採這種作法，涵括範疇才更為寬廣；我則收納較少條目，不過文章篇幅較長，如此安排可提增深度。期望我們這兩本書，可以和平共存，構成同採字母編排的變化成果。

　　當然，一名作家不可能探討所有關鍵要點、介紹所有重要人物，或兼顧數學界所有迫切議題。每有轉折都必須做出抉擇，而影響抉擇的要件包括，內部一致需求、題材的複雜程度、作者的興趣和專業，還有全然人為的字母順序布局。這類計畫總有遺珠，而且缺捨的數量，甚至有獲採納條目的數千倍之多；同時，大批有潛力的論題，也在剪輯室中，命喪於文字處理人員之手。

　　到頭來，這本書就成為一個人隻身面對浩瀚數學宇宙的反應成果。本書描繪出一段旅程，代表在無數作家、無窮盡可能的旅程當中，最後真正落實的選擇。同時，這裡我並不聲稱，自己確實恪遵從A到Z的廣博路徑來鋪陳內容。

　　暫且把這些限制要件擺在一旁，我希望這些章節，能夠彰顯所述題材的無窮魅力，起碼要讓讀者略瞥箇中妙處。十九世紀數學家索菲亞．柯瓦列夫斯卡婭（Sofia Kovalevskaia）便曾指出：「許多無緣更深入認識數學的人士，分不清數學和算術的差異，還誤以為這是一門枯燥冷僻的科學。事實上，這卻是門需要最高強想像力的科學。」１本書或許還有一項功能，藉此可以彰顯十五世紀希臘哲人普羅克洛斯所述見識：「單憑數學，便能重振生機、喚醒靈魂……洞見生命。還能化形影為實在，化黑暗為智慧光芒。」2

Arithmetic　算術

　　就我們看來，數學都是從算術開始，本書也是如此。我們都知道，算術處理的是最基本的數量概念──1、2、3……等全數。若說數學帶有任何普適理念，那就是區辨多重性高下程度的觀點，也就是「計數」。

　　全數必然具備一項固有特點，那就是無從否認的自然性，這就是利奧波德．克羅內克（Leopold Kronecker）那句名言的核心思想：「上帝創造了整數，而其餘的都是人為的成果。」１若我們把數學想像成是一支陣容壯盛的交響樂團，那麼全數系統就可比擬為一面大鼓：簡單、直接、反覆，提供其他所有樂器的根本節奏。此外肯定還有更精妙的概念──數學的雙簧管、法國號和大提琴等，這其中有些部分，在往後章節還會分別檢視。不過，全數始終是最基礎的。

　　數學家稱1、2、3 ……這種無限群組為正整數，不過，自然數或許是更貼切的用詞。對它們有了初步認識，還取了個名字之後，接下來我們就改換焦點，思考如何以某些重要方式來結合正整數。最基本的是加法。這項運算不只是種基本作法，考量到數字生來都是累加而成，所以加法也是種「自然的」作法，亦即2＝1＋1、3＝2＋1、4＝3＋1等等。我們甚至可以說，若強健的純種馬是「天生跑手」，自然數則是「天生累加手」。

　　我們在小學階段（幾乎）總是加個不停，接著就反向操作，做逆向的減法運算。接下來，課程進入乘法和除法，還加上似乎永無止境的習題演練。就這樣經過多年教學，孩童就掌握了算術運算作法，不過也多少帶些瑕疵缺點。還有，儘管台幣兩百四十九塊錢的計算機，只需瞬息片刻就能完美無暇算出所有結果，孩子們依然勇往學習。只可惜，在許多年輕人的心目中，算術卻成為演練和沉悶的代名詞。

　　然而，在不算很久以前，「算術」一詞涵納的意義，還不只是加、減、乘、除基本運算而已，裡頭還包含了全數更深奧的特質。舉例來說，歐洲人從前使用的詞彙是「高等算術」，意思不折不扣就是指「高深的算術」。如今大家偏愛的用詞則是「數論」。

　　這個題材牽涉廣泛，不過多少都以質數理念做為支軸。凡是大於1的全數，只要無法寫成兩個較小全數的乘積，都為「質數」。因此，前十個質數就是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。這所有數字，除了1和本身之外，就無法再被任一正整數除盡。

　　好議論的讀者或許會辯稱，17也可以寫成兩數的乘積，比方說17＝2 × 8.5或17＝5 × 3.4。不過，這些例子裡面的因子，本身都不是整數。各位必須記得，在數論登場的角色，都由全數來擔綱演出；至於程度更高深、牽涉範圍也更廣泛的親屬數系（分數、無理數和虛數），都只能待在台下乾著急。

　　倘若某個大於1的全數並非質數，也就是說，倘若某數除了1和本身之外，還擁有其他整數因子，這時我們就說那個全數是「合成的」。舉例來說，24＝4 × 6和51＝3 × 17都是這種數。全數1並不列入這群質數或合數之林，箇中道理稍後就可以清楚得知。這樣一來，最小的質數就是2。

　　有種方式可以具體審視這些概念，這種作法很簡單，也經常為人引用，那就是設想以正方形地磚拼出長方形面積。若是有十二塊地磚，這時我們就有幾種選擇來排成不同的矩形，如圖一所示。當然，這是由於12＝1 × 12或12＝2 × 6或12＝3 × 4（我們認為3 × 4和4 × 3並沒有差別，因為這兩種情況，拼出的地板形狀是相同的，只是其中一種得轉個方向）。相同的道理，四十八片地磚能拼出五種平面圖，相當於以下分解方式：48＝1 × 48＝2 × 24＝3 × 16＝4 × 12＝6 × 8。

　　另一方面，用七片地磚，只能拼出一種平面圖：結果顯而易見，也就是不十分有趣的1 × 7，如圖二所示。若有人必須用整整七片地磚來鋪設矩形房間地面，那麼他心中盤算的房間，最好是非常狹長才行。從這點看來，倘若p數只能規畫出一種平面圖，那麼p就是質數：稀鬆平常的p＝1 × p。若是使用某數可以規畫出不同的平面圖，這個數就是合成的。

　　質數或許是高等算術的核心，不過，質數也是數學最大亂象的禍首。理由很簡單：既然全數不折不扣就是加法運算的產物，那麼質數和合數的問題，就把「乘法」推上舞台。儘管數論相當迷人，卻也十分艱深，因為數學家總想運用乘法理念，來檢視加法得出的產物。

　　從這個觀點來看，自然數就像是離水的魚。自然數是藉由加法步驟孕育生成，卻發現自己身處陌生的乘法環境。當然，先別認為這個冒險行為是毫無指望的，想想在三億五千萬年之前，魚類的確是從水中上陸，當年牠們在不完全適合本身構造的世界，費勁喘了幾口氣，接著演化成兩棲類、爬蟲類、鳥類、哺乳類，還演化出數學家。惡劣陌生的環境，有時會醞釀出全然不同的結果。

　　若是沒有出現算術基本定理這樣的產物，質數在數論當中，肯定會扮演比較偏離核心的地位（請注意，前面「算術」一詞，是採用比較廣義的觀點）。從這個名字來看，算術基本定理是整個數學界，最基本又最重要的命題。命題敘述十分簡潔：

　　算術基本定理：任意不等於1的正整數，都可以寫成質數的乘積，而且寫法僅得一種。

　　這裡我們有個兩面刃主張。首先，任意全數都可以寫成質數的「某種」乘積。第二，寫法僅得「一種」。於是我們就必然得出結論，認為質數是乘法的建構砌磚，所有全數都是按照這種步驟組裝成形，質數的重要性就是棲身在這裡。質數扮演的角色，和化學元素可以相提並論。我們知道，任意自然化合物都可以分解成周期表上的九十二種自然元素成分（或者包括在實驗室生成的總計一百多種元素）；相同的道裡，任意全數同樣也可以分解成質數因子。水分子可以寫成H2O，這種化合物可以分解出兩顆氫元素原子，加上一顆氧元素原子。相同道理，化合的（也就是合成的）數45，也可以分解成兩個質因數3和一個質因數5的乘積。我們可以仿效水的化學標記法，寫成45＝325，不過，數學家偏愛採用指數式寫法45＝32 ×5。

　　不過，除了提出分解成質數的作法之外，算術基本定理還有其他同樣重要的貢獻，那就是這項定理保證，每種分解方式都是獨一無二的。倘若有人做質數因子分解，求得92,365可以分解為5 × 7 × 7 × 13 × 29，那麼，在辦公室或國土另一個角落的人，無論是在今日或距今一千個世紀之後動手運算，求得的質數分解結果，肯定也是完全一模一樣。 　　這讓數學家非常安心。當然，還有一種情況也同樣令人安心，當化學家把水分子分解成一顆氧原子和兩顆氫原子，另一位化學家也拿水分子來分解，結果並不會分解出一顆鉛原子和兩顆鉬原子。質數就像元素，不只是種建構砌磚，更是獨一無二的砌磚。

　　這裡有必要指出，為了求得唯一因子分解結果，我們就必須把1排除在質數之外。因為，倘若把1納入質數之列，那麼舉例來說，數14的質數分解，除了14＝2 × 7之外，還會有14＝1 × 2 × 7和14＝1 × 1 × 1 × 2 × 7等等「不同的」質數分解結果。如此則質因數分解就不再是獨一無二的。數學家說，讓1扮演特殊角色，結果就好得多了。數字1不是質數，也不是合數，它叫做「單元數」。

　　數學家面對一個正整數時，偶爾會希望判定這是個質數或合數，若是合數，他們還會想找出所含的質數因子。這有時很容易解決。任意偶全數（2除外）都有個因數2，因此顯然都非質數；同時，最後一位等於5或0的任意全數，同樣也都是合成的。就其他情況來看，這道質數性的問題，難度就遠高於此。例如，誰願意費心斷定4,294,967,297和4,827,507,229哪個是質數，哪個不是？*

　　* 信不信由你，641可以把4,294,967,297除盡；另一個數4,827,507,229則是質數。見大衛．韋爾斯（David Wells）《有趣怪數企鵝大辭典》（The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin, New York, p.192）一書。

　　十九世紀的數學家卡爾．高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）或許是有史以來最偉大的數論學者，他在一八○一年的鉅著《整數論研考》（Disquisitiones Arithmeticae）一書中坦白道出：

　　區辨質數和合數之別，把合數解析成所含質數因子，這是已知最重要，也最有用的算術問題……看來科學本身的尊嚴，有賴全心投入，探究一切可能作法，設法解決這麼優雅，又這麼著名的問題。2

　　隨後在超過二十四個世紀期間，從古代希臘人到現代數論學家，數學界對這類問題始終無法抗拒，甚至可以比擬為飛蛾撲火，或者白襯衫吸引義大利麵醬汁沾染上身。這一路走來，學者已經針對質數提出眾多猜想。有些已獲證實，有些則已然證明為非，還有為數驚人的構想，依然未解。

　　舉個例子，法國教士馬蘭．梅森（Marin Mersenne, 1588-1648）在一六四四年提出一道耐人尋味的問題。梅森在十七世紀科學界扮演重要的角色，這不單是基於他對數論所做的貢獻，還因為他在當時數學界發揮資訊交流中心重大功用所致。每當學者對數學現況感到好奇，或者對一道難題茫無頭緒時，都會寫信給梅森，有時梅森知道答案，否則他也能指點他們向有條件回答的權威人士求教。當年還沒有科學集會、專業期刊，甚或電子郵件，所以他所扮演的這種資訊管道的價值，可說是高得無以復加。

　　梅森迷上了2n – 1算式包含的數群，也就是2的乘冪減1所得數群。如今，為了紀念他，這群數就稱為「梅森數」。這種數顯然全都是奇數。更重要的是，其中有些還是質數。

　　梅森馬上認出，若n為合數，那麼2n – 1也必為合數。舉例來說，若n＝12，梅森數212 – 1＝4,095＝3 × 3 × 5 × 7 × 13就是合數（因為12是個合數）；就合數n＝33來看，233 – 1＝8,589,934,591＝7 × 1,227,133,513同樣也不是質數。

　　然而，當指數是質數時，結果就不那麼明確了。設p＝2、3、5和7，結果就得出一群「梅森質數」，22 – 1＝3、23 – 1＝7、25 – 1＝31，還有27 – 1＝127。不過，若是我們以質數p＝11做為指數，結果就得到211 – 1＝2,047；唉，這個數是23和89的乘積，因此是個合數。梅森完全明白，當p為質數時，並不保證2p – 1也是質數。事實上，他還曾經斷言，介於2和257的質數群當中，能夠讓2p – 1也為質數的p值，只有p＝2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127和257。3

　　遺憾的是，梅森神父的結論有罪，包括職務之過和疏失之罪。例如，他漏看了一件事例，261 – 1是個質數。後來又發現，267 – 1根本不是質數。後面這點，在一八七六年由愛德華．盧卡斯（Edouard Lucas, 1842-1891）確認，他採論述來證明這是個合數，作法拐彎抹角，完全沒有明確指出任一因數。於是，就某種意義來說，267 – 1的故事，結局仍屬未定，值得暫時離題，來談談它最後一段重要發展。

　　那是在一九○三年，背景是美國數學學會的一次集會。那次議程的講員，有一位是來自哥倫比亞大學的佛蘭克．柯爾（Frank Nelson Cole）。輪到柯爾發表時，他走到講堂前，靜靜把2累乘67次，然後減1，最後得出147,573,952,588,676,412,927劃時代的結果。目睹這次沉默的計算過程，聽眾滿頭霧水。接下來又見柯爾在黑板上寫道：

　　193,707,721 × 761,838,257,287

　　這次他也是靜靜地計算。乘積不是別的，正等於

　　147,573,952,588,676,412,927

　　隨後柯爾便回到位子上坐下。他的表演，真可當成默劇演員大會的理想演出劇目。

　　聽眾席上，來賓才剛剛親眼目睹，梅森數267 – 1明明白白經過因子分解，得出兩個巨大因數，霎時間，他們就像柯爾那般靜默無語。接下來，席上爆出掌聲，來賓盡情鼓掌，起立向他致敬！期望這項表彰舉止，讓柯爾的心溫暖起來，因為，後來他曾坦承，在這之前的二十年期間，他都不斷從事這項計算工作。4

　　儘管柯爾完成因子分解，梅森數依然是質數研究的一項豐碩成果。幾無疑問，每當一份報紙刊登有人發現嶄新「最大」質數的消息，最後總要發現，那是個2p – 1型式的數。直到一九九二年止，已知最大質數是2756839 – 1，那是個位數多達227,832的巨獸數。5不過，就比較一般化的問題來看，哪些梅森數是質數，哪些則否，依然是數論的未解難題。

　　梅森數27 – 1也包含另一個質數方面的故事。十九世紀中期，法國數學家波利尼亞克（A. de Polignac）斷言：

　　所有奇數都能以2之乘冪與一質數之和來表示。6 　　舉例來說，數15可以寫成8＋7＝23＋7，此外53＝16＋37＝24＋37，而且4,107＝4,096＋11＝212＋11。

　　儘管波利尼亞克並未聲稱自己證明了這個迷人的猜想，然而他卻隱約指稱，自己曾經把三百萬以下的所有奇數都拿來核算。

　　既然凡是2的乘冪，經過質數分解都得不出任何奇數，因此這種乘冪值，總歸是最道地的純偶數群。波利尼亞克的陳述隱約指出，任意奇數都可以用一個質數（最基本的建構砌磚），加上一個（只能是偶數的）2的乘冪來建構。好大膽的陳述。

　　但這項陳述也是一錯到底。倘若波利尼亞克果真投入必要時間，檢核他的論斷達數百萬位數，那麼我們只能可憐他，因為相對微小的梅森質數127，就能駁倒他的主張；數127完全無法寫成一個2的乘冪加上一個質數。事實清楚分明，只需分解127，寫成2的乘冪和一個餘項，列出所有可能的算式，我們就可以看出，餘項全都不是質數：

127＝2＋125＝2＋(5 × 25)
127＝4＋123＝22＋(3 × 41)
127＝8＋119＝23＋(7 × 17)
127＝16＋111＝24＋(3 × 37)
127＝32＋95＝25＋(5 × 19)
127＝64＋63＝26＋(3 × 21)

　　（由於27＝128，得數大於127，這裡我們沒必要再繼續下去。）如今，波利尼亞克的猜想已經被丟進數論的垃圾堆中，因為他錯過了一個反例，就數學觀點來看，這項反例根本是近在眼前。就像十九世紀的撲翼飛機，他的雄心主張，始終沒有離地升空。

　　前面我們把化學物質分解成元素的唯一性，拿來和整數以因子分解化為質數的唯一性相提並論。這種化學比喻確有幫助，但就一個重要層面來看，兩邊卻無相似之處：有史以來，所有化學家投身實驗，致力擴充元素種類，最後成果加總起來，元素數才剛超過一百，然而質數卻有無窮多個。就化學元素方面，周期表可以貼上中等大小壁面，至於數學質數，同類表格就需要一面延伸永無止境的牆壁，才貼得上去。

　　質數無限性的最早證明，緣自希臘數學家歐幾里德（約西元前300年），出現在他的經典著作《幾何原本》（Elements）。7這裡就提出他的證明，但是我們的版本略有改動，不過仍保有他原始論證的威力和美感。

　　要理解這段推論，必須先提出數論研究所得的兩項成果，此兩者都不是非常深奧。第一項是，就任意全數n而論，n的兩個倍數之差，本身就是n的倍數。以符號表示，若a和b都是n的倍數，則a – b也是。舉例來說，70和21都是7的倍數，因此兩數的差70－21＝49，也是7的倍數；相同道理，216和72都是9的倍數，則216－72＝144，也是9的倍數。

　　這項論據的普適證明，這裡就不予討論，不過，檢定很簡單，也很可信。

　　另一項先決要件同樣也十分簡單。就這點來講，任意合數至少都含有一個質因素。這裡我們也舉例來說明。合數39有質因素3，合數323有質因素17，合數25有質因素5。就這項定理，歐幾里德提出了一項很巧妙的證明，納入《幾何原本》第七冊，列為第三十一項命題。

　　除此之外，我們只需確立，質數的無限性是經由歸謬反證所得理解，這就夠了。這樣一來，我們就必須採信邏輯的最基本二分法：一句陳述非真即假。

　　有種作法可以證明陳述為真，那就是直接證實所述。這點顯而易見，也是老生常談。另一條門路也很可信（所謂的「歸謬法」，或稱「反證法」），也就是假定陳述為「假」，接著循此假定，採邏輯法則，導出不可能的後果。既然出現這種後果，我們就可以推知，推理環節有個地方出了點問題，倘若我們的步驟都很可靠，那麼禍首就只可能是「陳述為假」這項原始假定。因此，我們必須拒絕這項謬誤假定，於是根據前面提到的二分法，我們只剩下一種可能性：事實上該陳述必然為真。這裡要承認，這項對策拐彎抹角、迂迴曲折，看來似乎有點古怪。為了彰顯這種間接特性，我們先審視以下實例，接著再回頭討論質數的無限性課題。

　　假設我們正在研究完全平方兼完全立方的數群，比方說，64等於82，也等於43，還有729等於272，也等於93，以下就稱這類數為「平立方數」（sqube）。我們的目標是證明：

　　定理：平立方數有無限多個。

　　證明：這裡採用完全直接的簡單證法。我們只需注意，若n為任意全數，則n6＝n3 × n3＝(n3) 2 為一完全平方數，且n6＝n2 × n2 × n2＝(n2) 3 同時也是個完全立方數。所以，我們得到為數無窮的平立方數，如下所示：

16＝12＝13
26＝64＝82＝43
36＝729＝272＝93
46＝4,096＝642＝163
56＝15,625＝1252＝253
66＝46,656＝2162＝363
76＝117,649＝3432＝493
86＝262,144＝5122＝643

　　並依此類推。

　　顯然，這套步驟可以無止境延續，因為每為n選定一個數值，都會產生新的不同n6。平立方數無限性直接證明完畢。 　　遺憾的是，質數無限性並沒有這種直接證明法。歐幾里德和往後其他所有人士，都找不出有哪項簡單的公式，能夠像我們的n6公式導出大批平立方數那般導出大批質數。這裡不能採用正面攻擊手法，只能仰賴歸謬法做間接攻擊──這比較複雜，也比較微妙，不過到頭來卻也漂亮得多。事實上，這種證明經常被當成一種「石蕊試驗」，拿來檢定數學的靈敏度：真正具有數學熱情的人，見此都會感動落淚；沒有這種熱情的人，見此會厭煩得落淚。我們讓讀者自己來評斷。

　　定理：質數有無限多個。

　　證明：（採歸謬法）改假定質數的個數有限，並設質數都以a、b、c、……d來表示。這群數可能含有四百個或四十萬個質數，不過，我們假定所有這些質數全都包含在內。現在，我們開始朝歸謬邁步前進。

　　把這批質數相乘起來再加1，得到新的數：

N＝(a × b × c ×……× d)＋1

　　注意，由於我們的數值數量有限，確實可以採用這種作法，把它們相乘起來；若是為數無限的質數，就無法這麼做。

　　顯然，N大於任意個別質數（包括a、b、c、……或d），所以N和這所有質數都不相等。既然質數就只有這些，我們得到結論，N並非其中任一質數。

　　這就表示，N必然是個合數，那麼，根據我們前面談到的第二項先決要件，N有一個質因數。由於我們假定，世界上所有質數，全都包括在a、b、c、……d裡面，N的這個質因數，必然也位於其中某處。

　　換個說法，N是質數a、b、c、……或d當中某一數之倍數。究竟是哪個質數的倍數，完全沒有關係，不過，為了具體說明起見，這裡假定N是c的倍數。既然c看來就是其中一個因數，那麼a × b × c ×……× d乘積，顯然也是c的倍數。根據前面舉出的第一先決要件，N和a × b × c×……× d之差，肯定也是c的倍數。然而，我們定義N只比這個乘積大1，因此這個差就等於1。

　　於是我們導出結論：1是c的倍數（或N之其他任一質因素之倍數）。這顯然是不可能的，因為最小的質數是2，也因此1並非「任何」質數的倍數。看來這裡面出了差錯。

　　回頭審視前面的論證，我們看出，只有一處出了問題，那就是「質數個數有限」的原始假定。因此，我們拒絕這項假定，依反證法歸出結論：質數必然有無限多個。證明完畢。

　　這項美妙的推理既淺顯又深邃。這能證明質數為數無窮，取之不盡。如今已經用最強大的電腦確認，2756839 – 1是個質數，沾沾自喜之餘，我們可以斷言，還有更大的質數（而且是多得數不清的更大質數）尚待發現。就算我們無法指明這較大的質數是哪些，大家也別認為我們這是在推託。由於邏輯和歸謬法的微妙貢獻，我們知道確實存有那種質數。

　　數論能產出這般單純漂亮的結果，所以年輕學者鑽研高等數學，一向都從此處登堂入室。這其中有一位是美國數學家茱莉雅．羅賓遜（Julia Robinson, 1919-1985）。一九七○年，羅賓遜是學界一個三人組的成員，他們的使命是解答一道非常艱深的難題，稱為「希爾伯特第十問題」。這道問題出自數論，更早七十年之前，就由大衛．希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）率先提出，迄至當時依然沒有解決。羅賓遜還很小的時候，就迷上全數的美妙特性。「數論的若干定理特別讓我感到興奮，」她寫道，「而且晚上我和康絲坦斯〔她的姊姊〕爬上床後，我還會對她講述這些定理。很快她就發現，如果她還不想睡覺，只要問我數學問題，我就會保持清醒。」8

　　另有一位是匈牙利數學家保羅．埃爾迪什（Paul Erdős, 1913-）。有次埃爾迪什回顧自己漫長的事業生涯，追憶道：「我十歲的時候，父親對我說明歐幾里德的〔質數無限性〕證明，我就這樣入迷了。」9

　　埃爾迪什在童年階段已經開創智慧成就，至於社交方面則是與世隔絕。十七歲的大學新鮮人，多半只期望能熬過青春期，而埃爾迪什在那個年紀，已經在數學界出人頭地。他設想出一項基本證明，斷定在任意全數n和2n之間，總是存有至少一個質數。舉例來說，在8和16之間，或者80億和160億之間，都至少存有一個質數。

　　這看來好像是個相當膚淺的定理。沒錯，將近一個世紀之前，一位俄羅斯數學家已經證明這點，那個人的名字很美，叫做帕納帝．切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev），他的姓氏在數學文獻出現時，拼法各不相同，包括Chebychev、Tchebysheff、Cebysev和Tshebychev，這些應該都是語文音譯誤差，可不是由於他特別愛起別名。不過，切比雪夫的證明非常複雜。埃爾迪什的論證就相當奇妙，不但簡單得多，而且是那麼年輕的人所設想出來的。

　　這裡要順道一提，他的定理還衍生出質數無限性的另一種證法，因為這能擔保在2和4之間有個質數，在4和8之間還有一個，而且在8和16之間又有一個，並以此類推。就算我們不斷倍乘數值，結果依然如此，因此質數肯定也有無限多個。

　　這就成為埃爾迪什長串定理的第一項。後來他成為二十世紀產量最豐，也或許是最古怪的數學家。就算在這個可以接受反常行為、見怪不怪的專業領域，埃爾迪什都可以列入傳奇。舉例來說，這位年輕學者受到嚴密保護，直到二十一歲（證明前述質數定理四年之後），他才第一次自己在麵包上塗抹奶油。後來他回想道：「當時我才剛前往英國讀書。那是在用茶時間，備有麵包。我實在太尷尬了，不敢承認自己從來沒有塗奶油的經驗。我試做了。並不是太難。」10

　　埃爾迪什還有一點同樣稀罕，他居無定所，只隨身帶著一只手提旅行箱，四處環球旅行，逐一拜訪各地數學研究中心。他有把握每到一處，總有人會安排讓他過夜。由於他周遊不絕，這位漂泊數學家，便成為史上無人能及、曾與最多同行合作、發表過最多合著論文的學者。他證明源出《聖經》的一句諺語確鑿無誤──人不是光靠（給）麵包（塗奶油）過活。

　　數學界的回報可說是異想天開，設想出所謂的「埃爾迪什數」來表彰他的貢獻。埃爾迪什本人的埃爾迪什數等於0；凡是曾和他聯手發表論文的數學家，埃爾迪什數都等於1；若是雖不曾直接與埃爾迪什合作，卻曾經和埃爾迪什合著論文的合作夥伴聯手發表論文，那位數學家的埃爾迪什數就等於2；若有人發表了合著論文，合作對象是曾經和埃爾迪什合著論文的合作夥伴聯手發表論文的人，那麼他的埃爾迪什數就等於3……以此類推。就像一棵巨大的櫟樹，埃爾迪什樹的分支，蔓延遍布整個數學界。

　　所以，有了質數、合數、梅森數，甚而加上埃爾迪什數，情況清楚分明，對數論的熱情，沒有絲毫退燒風險。因為，在數學家眼中，包括從高斯到羅賓遜，從歐幾里德乃至於埃爾迪什看來，沒有哪個數學部門，能像高等算術那般漂亮、優雅，帶有那般無盡迷人風采。

作者：威廉．鄧漢(William Dunham) 譯者：蔡承志 出版社：商周出版 書系：科學新視野系列 出版日期：2009-09-10 ISBN：9789866369414 城邦書號：BU0093 規格：膠裝 / 單色 / 320頁 / 17cm×23cm