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數學式思考的技術
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  • 數學式思考的技術

  • 作者:小島寬之
  • 出版社:商周出版
  • 出版日期:2015-12-29
  • 定價:300元
  • 優惠價:79折 237元
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內容簡介

「我的選擇有沒有錯?」、「為什麼人會一再重複錯誤的判斷?」 不用再這樣煩惱了! 理解比運氣、實力更為重要的決策要點! 讓你每個做決定的瞬間都有效,跌破眼鏡的決策論。 如果你過去僅以沒有根據的直覺、數據資料決定事物,本書將傳授合理的判斷力。 縱使不善於邏輯思考的人也沒問題。 「好玩又好用」的新數學活用法將在此展現。 本書融合了機率、邏輯、經濟學、心理學 除了透過機率來下判斷或做決定,還討論了成功法和經營術,雖然掺有許多較學術性的名詞,但並沒有艱難的算式,而是用具體的邏輯來講解每一個舉例。 數學不外乎是機率和統計理論,但本書不使用困難的數列組合,而是以一般邏輯加上心理學來解釋,以各種比喻來解說生活中遇到的機率和下決定的瞬間。 內容分為二大部分,第一部分是「決策」的基本理論,詳細述說判斷機率的工具「期待值基準」、「大中取小基準」、「最大機會損失.最小化基準」、「大中取大基準」。 其中使用例子從凱因斯經濟學的本質「不確定性論」到夏洛克.福爾摩斯、彩券、賭博、「聖彼得堡悖論」等,觸及各種題目引起讀者興趣。 第二部分以上述四個工具為基礎,解說邏輯思考、驚喜乃主觀機率、預測.推論.決策等事、更新推論、股價變動等。 全書以「決策論」為中心,運用身邊實例和比喻,讓文科出身的人也不覺得閱讀困難。

內文試閱

  ◎ 不出乎預料   人經常後悔自己的選擇,這是事後知道「那樣做的話,事情就不會變成這樣了」的「不選擇行動的結果」。   比如,購買某商品的隔天,在同間店發現商品降價的時候,感到後悔:「啊啊,晚一天買就好了。」又如,開車出門遇到塞車的時候,感到後悔:「啊啊,搭電車去就好了。」再如,賣出的股票繼續上漲的時候,感到後悔:「啊啊,不賣的話就能大賺一筆了。」   我們經常聽到「後悔莫及」這句話,顯然人會從後悔中反省自己行動的輕率。   在第1章提及選擇攤販C的基準「大中取小準則」(賽佛傑準則),就是著眼在「後悔」的基準。此基準的應用非常簡單,「全面考慮所有可能發生的事態,事前評估自己採取的行動會產生什麼樣的後悔」,也就是「預想後悔」。人最感到懊悔的是,「自己不太放在心上的事態發生了,結果蒙受預料之外的損失」。活用「大中取小準則」的話,至少能夠避免發生「預料之外」。因為這基準是從能想到的事態和其損失中,決定後悔最小的行動。   未來不論發生什麼事情都能冷靜行事,就這意義來說,使用這基準有很大的優勢。   ◎ 經常使用在戀愛上?   「大中取小準則」是不常被使用的基準,如同第1章攤販選擇問卷調查的解說,幾乎沒有人選擇攤販C,這大概是因為人難以想像「後悔」這種「自己未來的情緒」。   然而,牽涉到戀愛、結婚上,我卻有著不同的印象。不論是聽聞友人的經驗,還是看戀愛漫畫、戀愛戲劇,當事人好像總選擇「後悔」的行動。常見的發展為「喜歡某人」→「猶豫該不該告白」→「不告白而疏遠的話,將來肯定會後悔」→「決定告白」,女性的行動基準特別有這樣的傾向(因為沒有嚴謹的調查,可信度有待商榷)。   一般的行動選擇和戀愛上的行動選擇有什麼不一樣?   和購買商品、進行投資等選擇不同,戀愛與「感情」有很大的關聯,容易想像自己未來的情感。換個說法,關於戀愛的事情,我們容易模擬「那時自己」的情境。   在戀愛上使用過「大中取小準則」的人,可嘗試更廣泛使用這個方法。   簡單說就是,養成將自己置身於各種不同的可能未來,推測那時自身情感的習慣。   ◎ 上大學的成本有多少?   機會損失,是經濟學上經常使用的概念。意思是指,「選擇其他選項時所得到的利益」,可以想成選擇該行動時的「成本」(開銷)。社會上,不關心機會損失的人很多。我在課堂上有時會問學生這個問題,「你們認為上大學需要付出多少成本?」多數學生都回答「學費」,認為這四年支付的學費就是「上大學的成本」。即便是上過經濟學、會計學的學生也這麼回答,沒有考慮到「機會損失」,令我很擔憂他們的未來。   他們忽略的是,「若高中畢業直接就業,這四年能賺進多少收入?」假定年收有250 萬日圓,大學四年的成本為學費加一千萬日圓。當然,工作所承受的痛苦比讀書所承受的痛苦來得大,需要將這部分轉換成對應的金錢,從成本中扣除。   每次說完這件事,學生就紛紛露出驚訝的表情,自己上大學所付出的成本,竟然如此龐大。   ◎ 自宅營業不用租金比較好?   同樣沒有考量到機會損失的典型例子還有,認為「利用自宅營業不用付租金,這樣比較好」的人。租店面營業的確必須從營收中支付租金,利潤看似較少。然而,這在經濟學上是個大誤解。   假設某人將自家的一樓作為店面營業,這樣的情況下,若一樓不作為店面改租給他人,預估月租金能有20萬日圓的話,這20萬日圓需列入營業的成本當中。因為這是放棄出租能獲得20萬日圓的收入,是一種機會損失。   想要明確瞭解這個「負的租金」,可以從利潤(營收扣除營業開銷)沒有達到多少就要收店的角度切入。沒有將租金列入機會損失的人,會認為只要有利潤就可以繼續營業吧,但這是錯誤的行動。因為營業利潤為15萬日圓的話,就應該立刻停止營業,將一樓租給別人。不這樣行動的話,會變成為了獲得15萬日圓而自行放棄20萬日圓。換言之,若此人營業利潤低於20萬日圓,就應該停止營業。這等同於,一開始便將租金20萬日圓從營收中扣除,若利潤為負值,便停止營業。這樣想的話,就能理解為什麼停止營業的租金收入算是成本。   這樣的機會成本,社會上有很多,但多數人都忽略了這個成本。比如,裝設在別間公司能創造更多生產的設備,放置在生產性低的公司,此時便會產生機會成本。又如,調至別的部門能夠交出10億日圓營收的職員,讓他待在只能交出4億日圓營收的部門,會產生6億日圓的機會成本。   經濟學上認為,只要利用自由市場競爭,就能夠做到機會成本最小化(理想為零成本)的生產要素分配。這樣的分配方式稱為「生產要素的效率分配」,令人遺憾的是,現實社會中,生產要素的效率分配無法簡單實現。   這在經濟學上稱為「市場失靈」(Market Failure),特別是官方部門(政府機關),因政治上的考量而阻礙效率的情形被視為問題。   ◎ 把錢放在身邊是一種機會損失   「金錢的保有」伴隨著機會成本,這是投資領域上的常識。把錢放在身邊的成本是什麼呢?把錢放在身邊的機會損失是「利息」。把現金放在身邊,等同於放棄將這筆錢存入銀行(或是購買債券)所產生的利息。雖然日本持續著長期零利率政策,存款所得到的利息微乎其微,即便如此,只要存款的話,還是能得到利息,所以將現金留在身邊便會產生機會成本。   然而,這邊想要說的不同,絕對不是「保有金錢是愚蠢行為」。經濟學上認為,人們將金錢保有在身邊並不是因為他們愚蠢,而是因為得到機會損失的對等補償。   明確提出主張的人是,第2章出現過的經濟學者凱因斯。凱因斯認為,金錢保有所能得到利息的對等代價是「流動性」。若將自己的資產轉換成定期存款或債券,產生想要使用在某事物上的慾望時,就無法馬上實現該行動,必須先解除存款契約、將債券賣到市場,暫且轉化成現金才行。相反地,若是把錢保留在身邊,什麼樣的東西、服務都能馬上購入。這個「什麼都馬上能」的性質,就稱為流動性。凱因斯認為,人在利息上的機會損失會從流動性上得到補償。   對本書的主題來說,這可能是畫蛇添足,但凱因斯利用流動性的概念,說明了陷入經濟蕭條的機制。假定現在每個人有各自的理由,企求將金錢保留在身邊的流動性。這樣的話,作為流動性的代價(機會成本),也就是利息,就必須提高。因為不這樣做的話,沒有人願意存款或購買債券,結果將使得利息上漲,誘發企業減少投資。理由是當利息變得過高,企業會猶豫是否該借錢投資設備。凱因斯主張,投資需求減少,產品的需求也就降低,導致人民所得減少,陷入經濟蕭條。   ◎ 地球暖化的對策是「不確定性下的行動選擇」   這邊來介紹另一個「大中取小準則」的有趣應用實例,這是有關於地球環境問題的對應方法。   如同大家所知,從前世紀末開始,地球暖化問題受到世人重視。社會響起了警鐘,若再繼續這樣使用石油等化石燃料,排出的二氧化碳會使地球進入保溫狀態,地表溫度上升,造成各種災害。於是,世界多國通過以削減二氧化碳排出量為目標的京都議定書。   對地球暖化有疑慮的學者不少,丹麥的統計學者比約恩.隆伯格(Bjorn Lomborg)就是具有代表性的評論者。他們主張的反論大致如下,首先有人主張暖化說法是有疑慮的;或者主張暖化確實發生,但誘因並不是二氧化碳;再者主張地球暖化並不會帶來災害。   特別是氣候門事件(揭露地球暖化最重要證據的曲棍球棒統計圖是偽造的事件)以後,對IPC(政府間氣候變化專門委員會)的信賴造成極大損傷,主張「地球暖化是謊言」的氣象學者抬頭。   掌管地球的巨大熱學系統機制非常複雜,無法靠單純的物理學完全解明。能夠確實預言地球未來氣象的理論並不存在,因此在無法斷定地球是否真的暖化的情況下,人類應該採取行動的判斷變成是「不確定下的行動選擇」。這種時候,說本書討論的﹁決策論﹂扮演著重要角色也不為過。   ◎ 無悔策略   關於地球暖化的人類行動選擇,有人提倡應該使用大中取小準則。   比如,佐和隆光的《防止全球變暖》中,提出地球暖化問題適用大中取小準則。這邊稍微引用一些內容:   假設二○二○年後災害發生的機率不為零,這個機率或大或小,無法經由實驗確定,也不是深造科學上的見解便能解明。另外,因為討論二○二○年後是否產生更加嚴重的問題,不是一再反覆的現象,所以這邊所說的機率與其說是客觀機率,更近似主觀機率。(《防止全球變暖》,第180 頁)   佐和先生表示,地球未來氣象的推測是「主觀機率」,所以適用「大中取小準則」。另外,他也提出對節能、生活型態的改變應採取「完全不伴隨成本,或者利益高於成本」的對策,這樣的對策稱為「無悔策略」(No Regret Policy)。   為求公平,也介紹對地球暖化存疑的學者著作。具代表性的懷疑論者伊藤公紀著作的《地球暖化》中,介紹了科學家米本昌平的意見,「縱使下個世紀知曉地球暖化是錯誤預測,我們仍留給後代節能、公害防治的政策以及堆積如山的裝置。地球環境的問題,對將來的世代來說,是多麼幸福的威脅」。當然,懷疑論者伊藤先生也逗趣表示,這想法只是「權宜之計」。   但是,伊藤先生也說:「若日本的暖化對策不牽涉到核電推進,我大概只會旁觀吧。」為什麼呢?伊藤先生表示:「明明說要防範暖化,卻強化核電,這樣我一定會﹃後悔﹄。」這是伊藤先生認為的「大中取小準則」,儘管伊藤先生批判「不後悔的選擇」的想法,是「消極」的「畏縮不前的中心思想」,他仍給予這基準一定的評價,也將這基準應用在反核電的邏輯上。   ◎ 統計學者賽佛傑這樣想   在第1章有說過,提倡「大中取小準則」的是二十世紀的統計學家賽佛傑,也因為這樣又稱為「賽佛傑準則」。   賽佛傑,如同第2章的解說,他是以提出「主觀機率」劃時代思維聞名的學者。這主觀機率寫於《統計學基礎》(The Foundation of Statistics),裡面同時也說明了「大中取小準則」。   賽佛傑會思索這個基準,是因為這在統計學的決策基準上是非常重要的主題。作為參考,這邊稍微說明。   統計學,是從收集來的資料進行某推測的學問。比如,從死亡率資料的數值,判斷「什麼樣的環境變化會造成多數人失去生命」。或者,比較投與受試者新藥的治癒率和給與偽藥(外觀相似但沒有效果)的治癒率,調查新藥使否真的有療效。這種時候,如何從資料得到的統計數據中判斷、下達決定,是非常重要的問題。而探索這個方法就是統計學的工作,像這樣從資料中推導結論的方法,稱為「統計決定」(Statistical Decision)。在統計決定方面有著巨大貢獻的是二十世紀的統計學家沃德(Wald),有趣的是,沃德受到諾伊曼和摩根斯特恩的零和賽局決定思維(參照第3章)很大的影響,認為統計決定也應採取小中取大準則。再更詳細說明,他主張將「由數據資料做決定」的問題看作「大自然(或是神)與統計學家間的零和賽局」,應該使用盡可能避免最壞情況損失的統計決定方法,也就是「小中取大準則」。   另一方面,受到沃德研究影響的賽佛傑,認為不是「小中取大準則」,並提出「大中取小準則」。   ◎ 拉攏「唯一」的強力決策者   在公司,當你想推動某企劃的時候,應該說服的目標是誰呢?   關於企劃的好壞,一般來說,多數成員有陳述意見的立場。但你難道必須將全員當作說服的目標嗎?每個成員有各自的意見、喜好,說服全部的人是一件極困難的事情。   而實際上,你根本不需要這樣。你需要說服的目標非常少,而且多數情況只有一人。   將這件事明確告知給我的是某知名演奏家。   那是發生在某大學的校慶上,觀看日本流行樂團現場演奏時的事情。樂團女主唱在曲間閒談時,分享了下述的趣事。她們的樂團在正式出道前,音樂公司中許多工作人員對她們的曲子、演奏,你一句、我一句地給予意見和點子。說實話,她覺得其中大多數都沒有什麼效用。於是,她得到了一個結論:對於多數工作人員不具參考價值的意見,一概不聽從。   她說:「我們要做的事,就是說服有責任、權力的唯一一人。」   在音樂業界,不管是工作人員或製作人,僅由一位人物就決定了音樂的推銷方針。其他企業大概也是這樣吧,因此她們的說服目標,就只有那位最後做決定的人物。她說:「不論誰說不行,只要最終權力者說:『以這個方向上市。』其他人就必須遵從。」我大力贊同這想法,這樣的方針也為她們帶來日後的活躍。   正式出道前演奏粗拙卻嶄新的樂團,隨著正式出道,樂曲變得百無聊賴,這樣的樂團,我知道的還不少。我想,這樣的樂團因為過於順從工作人員強押的無責任喜好,導致失去原本粗拙卻有個性的音樂性。   我曾在補習班執過教鞭,當時也發生類似的事情。教材開發者費盡心血編輯的教材,每當思慮欠深的工作人員對內容進行評論,教材就會漸漸變得平凡且陳腐。   目擊多次此番情況的我,當開發製作內容兼最終做決策者變成我時,我選擇完全忽略欠缺評審能力的工作人員意見。做決定的人是我,就表示背負責任的是我,所以我只傾耳中肯辛辣的意見。   當你被任命實現某計畫的時候,你完全不需要努力討好多數同僚的意見。   當然,你可以傾聽各種不同的意見,其中有些能讓你恍然大悟也說不定。但若只是依自己的經驗、想法說出的平庸建議,笑著帶過即可。在此之上,你只須拉攏唯一權力者的決定,虎視眈眈地備妥說服的材料。   ◎ 以主觀決定機率   統計機率,是分配機率的代表性方法,但還有很多情況是資料不足的。   這種時候,我們會對機率的分配束手無策,但還是有能做的事情。   那就是「主觀的隨意分配機率」,誇張地說就是「看心情分配機率」。   這樣的機率沒有客觀資料、實驗的背書,僅依存人的「臆測」,所以稱為「主觀機率」。   主觀機率經常用於日常生活,「大概八成就行了」、「成功嗎?一半一半吧」,前者的「八成」和後者的「一半一半」並不是意味著「0.8 或0.9」和「0.5」的明確數值,僅是發言者心中「對可能性的印象」,是主觀上的數值。然而,這也不是完全沒有任何根據,前者是描述「從以往的經驗來看,大概這樣就行了」;後者是提出「根據過往經驗,難說會成功或失敗」。一聽到「主觀」機率,也許會覺得詭譎可疑,但其實它的理論相當完備,就某意義上來講,已經受到信賴。二十世紀後半,名為賽佛傑的統計學天才提出了有效化的方法,賽佛傑證明了「若每個人的行動選擇可以用一組規則滿足,則某人的行動會和經由數學機率決定的行動一致」。   賽佛傑的規則是非常巧妙且具數學性的,這邊就不完整論述,但為了讓讀者稍微體驗一下氣氛,這邊舉天氣的例子來做介紹。   現在,假定有甲籤和乙籤。在「雨天」狀態和「雪天」狀態的時候,甲籤和乙籤的獎金相同。比如,「雨天」的時候,二者皆得1萬日圓;「雪天」的時候,二者皆得2萬日圓。   不同會發生在「晴天」狀態和「陰天」狀態,比如「晴天」的時候,甲籤獎金為10萬日圓、乙籤獎金為5萬日圓,「陰天」時則獎金相反。   假定甲籤和乙籤中,你喜歡前者。此時,「晴天」狀態和「陰天」狀態的獎金不變,僅變動「雨天」狀態和「雪天」狀態的獎金(保持甲乙獎金相同),製作甲' 和乙' 。假定甲' 、乙' 二籤者在「雨天」狀態皆得到3萬日圓;在「雪天」狀態皆得到4萬日圓。對這個新製作出來的籤,你的喜好依然不變,比起乙' 更喜歡甲' ,這就是賽佛傑舉出的代表性規則(Sure–thing Principle)。   賽佛傑舉出的機率理論稱為「貝氏理論」,為機率理論、統計學吹進一股新風。接下來,我將以賽佛傑的理論為主軸,說明主觀機率的原理及利用方法。主觀機率的利用法有二種,第一種是,你實際對事件分配主觀機率,以此為行動參考。第二種是,你看穿利害關係人是怎麼分配主觀機率,反將利用。

作者資料

小島寬之

帝京大學經濟學系教授。經濟學博士。數學隨筆作家。專攻數理經濟學。 一九五八年出生於東京,畢業於東京大學理學院數學系,同大學經濟學研究所博士課程修畢。 著有《機率的思考方式》(NH K B o o k s系列)、《方便運用! 機率的思考》( 筑摩新書系列) 、《世界第一簡單微積分》(歐姆社出版)、《從零開始學習微積分》( 講談社出版) 、以及《專為文科設計的數學教室》(講談社現代新書系列)等多部作品。

基本資料

作者:小島寬之 譯者:衛宮紘 出版社:商周出版 書系:商周其他系列 出版日期:2015-12-29 ISBN:9789862729571 城邦書號:BO0235 規格:平裝 / 單色 / 256頁 / 14.8cm×21cm
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