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小小數學博物館:101個最經典的數學提問+最具創意的解答
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內容簡介

0是偶數還是奇數?為什麼負負得正? 「化圓為方」行得通嗎?數學竟然可以證明上帝的存在!? 本書收集來自世界各地101道最重要的數學提問, 在這些五花八門的問題背後,隱藏著數學最重要的原理, 走進小小數學博物館,你將會認識數學以及整個宇宙,大大開啟你的數學腦! 「讓人產生最大樂趣的,應該是學習,而不是知識, 是追尋而不是擁有,是過程而不是結果。」 ——高斯 位於德國基森的知名數學博物館,每年都有來自世界各地的遊客參訪,人們透過館內的各項設施,動動腦,試試看,自然而然的發現數學,進而學習數學知識及釐清數學概念。雖然數學館沒有方程式和多項式,很少提到數學史,也幾乎沒有文字說明,訪客卻在動手做的過程中驚喜連連,問題不斷。 館長阿爾貝希特.波依特許巴赫(Albrecht Beutelspacher)本身是一位數學家,經常得要回答讀者們的提問,他集結了多年來的提問與解答,整理出了101道最重要的數學提問,每一個看似五花八門、不登大雅之堂的問題,卻都指向了數學史的某個里程碑、或最重要的數學原理、甚至是數學素養。 透過趣味橫生的提問以及風趣幽默的回答中,讀者能重新體會數學的樂趣,進入數學大師的腦袋中,了解他們為何思索這些問題。回到數學發展的歷史中,重新看見數學原理被提出的背景,更能發現原來數學不僅是科學發展的基石,甚至能夠描繪遙遠的宇宙與超自然的現象。 本書透過嚴謹的審定與仔細的分類,緊密扣合著數學學習的各階段,分為趣味篇與挑戰篇,讀者可以依照自己的喜好與程度,逐篇觀賞,或者跳篇閱讀,都能充分享受數學的樂趣。 走進小小數學博物館,重新打造你的數學腦,你會發現,數學不容易,但也沒有想像中的難,而且比你想的還好玩喔! 小小數學博物館的數學名言錄: .數學就是我們認知工具的延伸,當碰到理解極限時,數學能幫我們往前走下去。 .數學能讓我們用另一個角度看世界。 .數學是文化的一部份,就跟語言一樣,我們也是透過已經會數學的人來進入數學領域。所以學習數學應該跟語言一樣,透過反覆嘗試與練習,而不是直接告訴他們該怎麼做。 .雖然數學充滿冷冰冰的邏輯跟嚴格的規則,但在面對艱難的情境時,卻往往無堅不摧。

目錄

前言 推薦序 趣味篇 一、數字變變變 1、機率的計算是什麼時候開始的? 2、1+2+3+……+100=? 3、棋盤上有多少米粒? 4、兩個人同一天生日的機會有多大? 5、2000年前存下100元,現在值多少? 6、我丟10次骰子,可以確定至少有1次是六點嗎? 7、簽中一次大樂透的機會有多少? 8、如何不必抓光全池的魚,就能知道池裡大概有多少魚? 9、什麼是「三門問題」? 10、為什麼負負得正? 11、二項式定理有什麼用途? 12、什麼是「根」? 13、每個方程式都有解嗎? 14、什麼是超越數? 二、乾坤大挪移 15、A4紙是多大? 16、每個四邊形都是正方形嗎? 17、哪一種多邊形可以完美接合? 18、為什麼圓或球無法接合? 19、為什麼蜂巢是六角形構圖? 20、為什麼只有5種「柏拉圖立體」? 21、平行線會在無窮處相交嗎? 22、什麼是「非歐幾何」? 23、為什麼對稱比較美? 24、古代有哪些難解的數學問題? 25、「化圓為方」行得通嗎? 26、「畢氏定理」是什麼? 27、空間和數字有什麼關係? 28、我們能了解四維空間嗎? 三、腦力激盪 29、最古老的數字是什麼? 30、13是不吉利的數字嗎? 31、人類何時開始運用數字計算? 32、古埃及人怎麼計算的? 33、古羅馬人怎麼計算的? 34、「0」是什麼時候出現的? 35、「0」是偶數嗎? 36、為什麼不能除以「0」? 37、為什麼要學「九九乘法」? 38、一百兆是多少? 39、Googol是什麼? 40、什麼是二進位系統? 41、有無限多的數字嗎? 42、為什麼2+2=4? 43、到底有多少個質數? 44、有任何質數的方程式嗎? 45、 + 等於多少? 46、到底有多少分數? 47、有無理數嗎? 48、無理數有多少個? 挑戰篇 四、怪怪數學家 49、為什麼數學家不會算術? 50、為什麼數學家怪怪的? 51、有史以來最偉大的數學家是誰? 52、誰是德國最偉大的數學家? 53、女性天生數學就比較差嗎? 54、為什麼諾貝爾獎中沒有數學獎? 55、什麼是「希伯特的旅館」? 56、數學家需要直覺和想像嗎? 57、為什麼要學數學? 58、為什麼數學令人害怕 59、為什麼數學這麼難? 60、一定要有公式嗎? 61、數學可以速成嗎? 62、為什麼數學這麼難學? 五、能力大考驗 63、阿基里斯何時趕上烏龜? 64、0.999……=1對嗎? 65、無窮數可以加總嗎? 66、我們如何利用數學理解移動? 67、什麼是指數函數? 68、對數有什麼用途? 69、要知道幾點才能得知一個函數的全貌? 70、數學可以應用在哪裡? 71、數學也是軍事科學嗎? 72、有計算復活節是哪一天的公式嗎? 73、電腦改變了數學? 74、數學問題的難度可以測量嗎? 75、檢驗答案比找出答案簡單嗎? 76、數學和音樂有關係嗎? 77、在數學裡還有什麼要研究的嗎? 78、為什麼「問題」很重要? 79、什麼是「希伯特的問題」? 80、什麼是「100萬元的難題」? 81、什麼是「3n+1難題」? 82、我們可以證明一切嗎? 83、數學裡沒有矛盾嗎? 六、尋找數學的真相 84、什麼是數學? 85、什麼時候開始有數學的? 86、第一本數學書是什麼? 87、什麼是「點」 88、什麼是證明? 89、什麼是公理? 90、我們怎麼證明不存在東西? 91、數學是自然還是人文科學? 92、為什麼數學這麼抽象? 93、是畢達哥拉斯發明了畢氏定理嗎? 94、什麼是「費馬最後定理」? 95、為什麼我們需要「複數」? 96、數字本身有意義嗎? 97、動物會算數嗎? 98、最美的公式是什麼? 99、我們可以證明上帝的存在嗎? 100、數學概念是被「發現」或是「發明」的? 101、外星人可以了解我們的數學嗎?

序跋

作者序
◎文/阿爾貝希特.波依特許巴赫   位於基森的「數學館」(Mathematikum)是一座數學的「互動式博物館」,從2002年開幕後每年都吸引15萬名左右的訪客,在館內150個展覽點,不管是解數學題、用肥皂泡泡作實驗或是探索自己身體的黃金比例,都讓大人小孩玩得不亦樂乎。經由這些活動每個人自然而然的發現數學,動動腦,試試看,進而學習數學知識及釐清數學概念。   雖然數學館沒有方程式和多項式,也很少提到數學史,也幾乎沒有文字說明,訪客卻在動手做的過程中驚喜連連,問題不斷。我自己常常被當面提問,除了面對面之外,有些人是透過電子郵件或甚至寫信。   大家的問題包羅萬象,有些是關於數學的本質:簽中一次大樂透的機會有多大?棋盤上會有多少粒米?「費馬最後定理」是什麼?   有些則是數學史的問題:「0」是什麼時候出現?為什麼諾貝爾獎沒有數學獎?什麼是「希伯特的問題」?   有些問題容易回答:一張A4紙有多大?13是不吉利的數字嗎?等於多少?   有些問題超難回答:凡事都可以證明嗎?一定要用公式嗎?為什麼負負得正?   有些問題已經超越數學領域:外星人能了解我們的數學嗎?我們可以證明上帝的存在嗎?為什麼數學家不會算術?   我竭盡所能的思考這些問題,並且把解答都寫在本書中,這些解答應該是正確的,因為都不是憑空想像的,而是以科學家的角度來探討和回答,並且力求簡單明瞭的說明,避免聽者不知所云,最後引來抱怨:「到底講什麼啊?」   當然不管是問題的選擇,或是解答的呈現都來自個人的主觀看法,有時候為了把解答說明得清楚具體,一針見血,我確實卯足全力。馮塔納(Theordor Fontane)在他的小說《Stechlin》中寫著:「無庸置疑的真相並不存在,即使有,也太無聊了。」這就是我寫這本書時的座右銘。   我希望書中解答了所有的問題,萬一讀者還有問題,而且相信我可以幫得上忙,   歡迎直接寫信給我:albrecht.beutelspacher@mathematikum.de

延伸內容

我看《小小數學博物館》
◎文/黃敏晃(美國印地安納州普度大學數學哲學博士、台大數學系退休教授)   小孩對外界總是有許多疑惑,大人也不容易回答得清楚。三十年前,我們的小孩上小學時,台灣有套兒童讀物《十萬個為什麼?》代我回答了很多非數學的問題。數學方面的問題我當然親自上陣處理,所以曾經有朋友請我寫本數學方面的為什麼,但因某種原因並未進行。   這本書就是這方面的讀物,作者是德國基森的「數學博物館」的館長——阿爾貝希特.波依許巴赫。他把許多訪客所提的數學問題中,比較單純大眾化的(專業性強的問題當然沒列入)回答,共101則,整理後出版了這本書。   數學內容討論的材料是數、量、形和關係,所以問題和回答都會有點抽象、形式。   書中的數學問題依性質可分成幾種類型,舉例說明如下:   (1)學習型的,如 + 為什麼是 ,而不是 ?為什麼不能除以0?為什麼要背九九乘法表?   這類問題通常在釐清問題的本質,和所牽涉數學物件的意義後,就能講清楚。   (2)存在形式的,如計算樂透中獎的神祕公式嗎?有計算出質數的公式嗎?每個方程式都有解嗎?真的有四維空間嗎?   存在性和唯一性常是數學討論的重點,因為數學家認為討論不存在的事物沒有意義,前兩個問題的答案是否定的,許多人太高估了數學的功能,以為數學總能提供公式解決難題,但這種靈丹其實並不存在。至於方程式的解和四維空間的存在,則會出乎許多讀者的意料之外。   無理數的出現(也可以說是其存在的證明)是數學上有名的故事。在畢氏定定理被證明之前,畢達哥拉斯學派是一個興盛的宗教型學派,信徒捐出所有財產,聚居在某些封閉會所,不和外人往來,會眾大多無法辨識每個人,還要互考能否用尺規作圖方式,畫出五芒星,亦即正五邊形五條對角線形成的圖形,篤信「世界萬物的測量都可由自然數透過單純的運作(如加、減、乘、除、比例等)而得到」,如琴絃在某些自然數之比的長度處,可彈出不同的樂音,就是此派的貢獻。因此,他們常用分數,但在信仰上排斥了「無理數」(非自然數之比的實數)的存在。畢氏定理被證明之後,一個正方形的對角線長是其長邊的 倍,而 是無理數,此學派便因信仰崩潰而完全瓦解。   (3)某類數學物件是否無限多的問題,如:有無限多的數字嗎?到底有多少質數?有多少分數?有多少無理數?   這裡牽涉到的無限多,是數學裡所謂的最初級的無限多,意思和自然數一樣多,數都數不完(永遠有一個數比很大很大的數多1,因此沒有最大的自然數)。譬如說,質數有無限多的證明就是靠一樣的邏輯——有限就可以完整的羅列,但全部列出來後,我們總可以找到另一個質數,故質數的數目就有無限多了。   以及阿基里斯何時能趕上烏龜?的芝諾悖論等牽涉到無限次運作的事務。   人的生命有限,現代人雖不像古人那樣,人生七十古來稀,但也很少過百歲的人瑞。不管如何,人命有限,無法作無限多次運作。因此,牽涉到無限運作的事務是要另外界定的。   即其結果越來越接近1,所以,數學裡我們界定其結果就是1。   許多人不能接受這樣的說法,他們覺得0.999……就是比1小那麼一點點,這裡需要用到一點推論來說明了:如果0.999……是一個固定的數,那麼它應該多少呢?   顯然,它是比1大的數是不對的,而任何比1小的數也不行,因為只要我們取的位數夠多,它就會比這個數大,因此它只能是1。數學的定義常常是這樣子,是人為的,因為數學物件是人造的,而非像熊貓或芒果那樣是天然的。德國數學家Dedekin說過:「數學裡除了1、2、3……等自然數的概念外,其他物件都是數學家造出來的。」   數學家造出來的東西,其意義當然是他自己界定的。譬如說, 這個形式的符號,它代表什麼樣的數呢?   我們當然不能隨便亂定,而要回歸到次方的意義: 代表3個4相乘, 代表2個4相乘, 本來是沒有需要的符號(只有1個4,根本沒有相乘的可能),但看到 、 等的界定,把 定義成成4,可以讓下面的指數算則方便運作——若a和b是自然數     那麼, 要定義成怎麼樣的數,才能使上面的指數保持成立呢?答案是 =1。這樣的做法,就是數學裡的「規約觀點」(conventionsim)。讀者以後見多了,就不會覺得奇怪了。   其他問題筆者就不多談了,讀數學書時不能像小說那樣,順著劇情走,每逢難處就停下來想一想,若需要動筆計算也不要偷懶。因為數學家寫數學文章時,常覺得材料簡單,因此輕輕幾筆帶過,以為別人會跟他一樣清楚。   另外,本書的作者是德國人,書中難免帶著些許德國味道,譬如問題052:誰是德國最偉大的數學家?問題079提到的「希伯特問題」和問題055「希伯特旅館」中的希伯特,就是非常有名的德國數學家。讀者只要能夠了解這點,此書不失為很好的數學讀物。   2014年10月20日

作者資料

阿爾貝希特.波依特許巴赫(Albrecht Beutelspacher)

他是一位數學家,擅長應用有趣而生動的語言表達數學,他是「數學博物館」(位於德國基森的知名數學博物館)的總監,常常親自和訪客面對面交流,簡明扼要的解說大家所提出的疑問。多年面對提問與解答的經驗使他興起寫作的念頭,想與大眾分享一些最特別也最有意思的問題。《小小數學博物館──101個最經典的數學提問+最具創意的解答》就是他的成果。

基本資料

作者:阿爾貝希特.波依特許巴赫(Albrecht Beutelspacher) 譯者:劉叔秋 繪者:陳怡今 出版社:親子天下 書系:少年知識家 出版日期:2014-11-04 ISBN:9789862419731 城邦書號:A3320218 規格:平裝 / 雙色 / 184頁 / 14cm×20cm
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