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數學教你不犯錯,上下冊套書:搞定期望值、認清迴歸趨勢、弄懂存在性
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  • 數學教你不犯錯,上下冊套書:搞定期望值、認清迴歸趨勢、弄懂存在性

  • 作者:艾倫伯格(Jordan Ellenberg)
  • 出版社:天下文化
  • 出版日期:2016-03-18
  • 定價:660元
  • 優惠價:85折 561元

內容簡介

數學界的《蘋果橘子經濟學》,顛覆數學太過抽象、與生活無關的刻板印象! 會數學就像戴上X光的眼鏡,能從混亂無序的世界表像裡,看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。你需要的只是一位教練,或甚至是一本書,來教導你相關規則及基本戰術。而這本《數學教你不犯錯》就是你最好的教練,它能教你如何達成目標。 在《數學教你不犯錯,上》,你能學會如何不落入線性思考:你會明白做決策得先明白自己的立足點、你將學會用數學來撥正錯誤的直覺、看清真正的趨勢。你也能學會不做錯誤推論:從此看清楚投顧老師的詐術,知道巧合比你想象的還常發生,看清不太可能跟不可能的差別,而且從此不受統計數字的愚弄! 在《數學教你不犯錯》的下冊中, 你會知道什麼是期望值,知道期望值的正確用法,例如在買樂透時,什麼時候才是出手的好時機;如何做決定才能獲利最多、損失最少。你還會明白迴歸趨勢,不再會對未來抱持不實際的想法,得以知道如何判斷才是正確之道。你還能清楚存在性是什麼,從此不會給民調數據搞得團團轉,清楚看出誰用什麼手段在操縱民意。你會發現,許多的盲點,都可以用數學突破,數學真的可以教你不犯錯。 【名家推薦】 是有特色、文筆又好的數學科普書。 ——李國偉教授(譯者) 這本書將幫你瞭解, 生活中處處需要數學思考力。 ——《華爾街日報》 《數學教你不犯錯》可以幫你探索你的數學超能力。 ——《科學美國人》 艾倫伯格尋找現實生活情境中數學原則的才能,讓所有數學老師都嫉妒。 ——《華盛頓郵報》 詩人數學家為這個大數據時代提供有力且深具娛樂性的入門書……是值得任何人一讀的數學科普書。 ——《Salon》 作者避用艱深術語,並採用真實世界的逸聞、簡單的方程式與圖形,傳達出即使是簡單的數學,也是有力的工具。 ——《柯克斯書評》

目錄

《數學教你不犯錯,上》 前言 我什麼時候才會用到數學? PART I 線性思考錯了嗎? 第1章:更不像瑞典 第2章:局部平直,大域彎曲 第3章:每個人都肥胖 第4章:相當於死了多少美國人? 第5章:派餅比盤子還大 PART II 這樣推論可以嗎? 第6章:破解聖經密碼 第7章:死魚不會讀心 第8章:歸渺法 第9章:內臟占卜學 第10章:上帝,祢在嗎?是我,貝氏推論 《數學教你不犯錯,下》 PART III 期望值是什麼? 第11章:你期望贏得樂透時,是在期望什麼 第12章:錯過更多班機 第13章:火車鐵軌相交之處 PART IV 認清迴歸,不錯估趨勢 第14章:平庸會出頭 第15章:高爾頓的橢圓 第16章:肺癌令你抽菸嗎? PART V 存在性的真實意義 第17章:沒有民意這種東西 第18章:「我從虛空中創造出一個新奇宇宙」 結語 如何做才能正確

序跋

【前言】什麼時候用得到數學?(摘)
  此刻,在世界上某間教室裡,有一位學生正向老師抱怨,為什麼課後要計算30條定積分?那會耗費掉他大半個週末。   這位學生寧可做些別的事,事實上他最不想做的就是積分。上個週末他就曾經花了很多時間算另外30條定積分,看起來與這次的定積分好像差別不大。他看不出做這件事的重點,他告訴老師自己的想法。在師生的這場對話中,學生一定會問到一個老師最怕聽到的問題:   「我什麼時候用得到它?」   老師很可能這麼回答:   「我知道計算積分很乏味,但是你要記住,將來你不知道會選擇什麼樣的工作,你現在可能覺得定積分沒用,但也許有一天你幹的那一行,會需要又快又準的算出定積分。」   這種答覆很難讓學生滿意,因為它是假話。老師與學生都知道這不是真話。有多少成人需要用到(1-3x+4x2)-2dx 的定積分?或是3q的餘弦?或多項式綜合除法?了不起幾萬人而已。   老師對這種假話也很不滿意,這我很清楚,因為我當了多年的數學教授,曾經要求成百上千的學生計算定積分。   幸運的是,還有一個比較好的答案,大致如下:   「數學並不只是靠背誦公式來做系列運算,一直算得你耐心與精力全失為止。雖然在你上過的某些數學課裡,數學好像就是那麼回事。學數學要計算定積分,猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。假如你想踢足球,我是說能真正的踢足球,到達能上場比賽的程度,你就必須做一大堆無聊、反覆、表面上看來毫無意義的操練。職業球員會有用到那些動作的機會嗎?你不會看到球場上有人丟擲重物或繞著交通角錐轉來轉去,但是球員會用到從日復一日乏味的操練中練出的強度、速度、直覺與彈性。學習這些操練就是在學習踢足球。   「假如你想當職業足球員,或甚至只是想進入校隊,都必須花很多乏味的週末在球場上進行操練,除此之外別無他法。現在給你一點好消息,假如你實在受不了苦練,你還是可以跟朋友一起玩球取樂。你在對方防守的間隙中傳出一球,或踢進一記遠球,獲得的樂趣跟職業球員一樣多。這會比坐在家裡看電視轉播的職業賽更健康、更快樂。   「數學也差不多這樣。你也許不必以需要大量數學的職業為目標,大多數人都如此,你不必覺得不好意思。但你還是可以做數學,其實你也許已經在做數學,只是你不叫它數學。我們在推理的過程中早已融入數學,而且數學會讓你的推理能力增強。會數學就像戴上了X光眼鏡,能從混亂無序的世界表像裡,看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過許多世紀的辛勤努力與論辯。一旦手中有數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解世界。你需要的只是一位教練,或甚至是一本書,教導你相關規則及基本戰術。讓我來當你的教練,讓我教你如何達成目標。」   因為時間的關係,我很少會在課堂裡說這些話。但是現在寫在書裡,就可以再加以引伸一些。我希望對我在前面提到的那些宏大的斷言,能拿出一些證據,我想告訴你,我們每天生活中碰到的問題,不論是政治、醫藥、商務、甚至神學,都摻雜著數學問題。光認識到這一點,你就會得到一些無法從其他手段獲得的真知灼見。   其實即使我有時間向學生講完激勵人心的演講,但如果這學生夠聰明,應該還是不會被說服。   他會說:「教授,雖然聽起來很有道理,但是太抽象了。你說會運用數學,就能把原來可能會犯錯的事搞對。那到底是些什麼事呢?給我一個具體的例子。」   這個時候我正好可以告訴他,沃德(Abraham Wald)與失蹤的彈孔的故事。   數學家運籌帷幄   就像第二次世界大戰很多的故事一樣,開頭是一位猶太人遭納粹追捕而逃離歐洲,結尾是讓納粹得不償失吃足苦頭。沃德於1902年出生在前奧匈帝國的克勞森堡(Klausenburg)。他進入少年期的時候,已有一場世界大戰寫入了書本,他的家鄉也變成了羅馬尼亞的克盧日(Cluj)。沃德的祖父是猶太人的拉比,父親是猶太潔食烘焙師,但是小沃德幾乎自始就是數學家。他在數學上的天賦很早就受賞識,因此維也納大學錄取他去攻讀數學。他喜愛集合論與度量空間,這是即使以純數學的標準來看,都相當抽象又深奧的課題。   但是沃德完成學業時,已經到了1930年代中期,當時奧地利的經濟十分蕭條,外國人幾乎不可能在維也納找到教職。最終解救沃德的是摩根史坦(Oskar Morgenstern),摩根史坦後來移民美國,並協助發明了賽局理論,但在1933年他是奧地利經濟研究所的所長。雖然摩根史坦只給沃德一個低薪的職位,處理一些零星的數學工作,卻是促成了有利於沃德的機會:因為沃德在經濟學上的經驗,當時在美國科羅拉多泉的經濟學機構考爾斯(Cowles)委員會,提供給他獎學金。雖然政治局面日益惡化,沃德仍不情願跨出會使他永遠離開純粹數學的一步。但是納粹征服了奧地利,終於幫沃德下定出走的決心。不過沃德在科羅拉多泉待沒幾個月,哥倫比亞大學就請他去擔任統計學教授,他再度整裝,踏上前往紐約的征途。   他就是從那裡開始參戰的。   第二次世界大戰期間,沃德主要在統計研究組(SRG)工作,SRG集合了美國統計學界的力量,是如同曼哈頓計畫的機密單位,只不過不是在發展原子彈,而是發展方程式。SRG的所在地也的確座落在曼哈頓,就在距離哥倫比亞大學一個街口的晨邊高地西118街401號。現在那座大樓是哥倫比亞大學的教師公寓,也有一些診所進駐。但是在1943年,那裡是戰時忙進忙出的數學中心。在哥倫比亞的應用數學組裡,數十位年輕女性俯首於桌上型計算機,忙著計算戰鬥機在空中的最佳飛行路線,以便把敵機鎖定在機關砲的射擊範圍裡。從普林斯頓來的研究人員,在另一個房間發展戰略轟炸的規程,而哥倫比亞的原子彈小組就它的在隔壁。   最終在這些小組裡,就屬SRG最具能量,也最有影響力。這個單位結合了類似學系的開放學術氛圍,以及敵愾同仇的目標。SRG的組長華里斯(W. Allen Wallis)說:「只要我們做出建議,經常事情就有所改變。根據沃弗維茲(Jack Wolfowitz)的建議,戰鬥機會搭配不同種類的彈藥,戰鬥機飛行員可能因此成功返回或不再回來。海軍飛機使用的飛彈,裝填的火藥通過格西克(Abe Girshick)設計的取樣方案檢查。飛彈有可能會爆炸而毀掉我方飛機與飛行員,或一舉消滅目標。」   這項任務如此重大,因此必須集結一等一的數學頭腦來進行。按照華里斯的說法,「無論以量或以質而言,SRG都擁有最突出的一群統計學家。」戰後創辦哈佛大學統計系的莫斯提勒(F. Mosteller)在那兒,決策論先驅以及貝氏統計學的推動者莎維奇(J. Savage)也在那兒,麻省理工學院的數學家暨模控學發明者韋納(N. Wiener)會不時來訪。日後獲得諾貝爾經濟學獎的傅利曼(M. Friedman),在那個小組裡經常只算是第四聰明的人。   小組裡最聰明的人通常是沃德。沃德曾經是華里斯在哥倫比亞大學的老師,對小組而言是顯赫的人物。因為他算是來自敵國的外國人,從技術上來說,他並未獲准閱讀他自己寫的祕密報告。在SRG盛傳的一則笑話說,沃德一寫完一頁筆記,祕書就要立刻從他手裡奪過來。從某方面看來,沃德最不該屬於這個小組,因為他天性傾向於抽象化,會迴避直接的應用。但是他想用自己的才能對抗軸心國的動機很明顯。而且每當你想把籠統的觀念轉化為堅實的數學時,沃德正是你最想要的人物。   機身上消失的彈孔   現在問題來了。因為你不希望飛機遭敵方的戰鬥機打下來,所以想要加強飛機的裝甲。但是增加裝甲會讓飛機變重,比較重的飛機既難操控又耗油。飛機的裝甲太厚會成問題,太薄也會成問題,厚薄之間應該有一個最佳解。而之所以把一批數學家塞進紐約的公寓,就是想算出最佳解。   軍方把認為有用的數據交給SRG。美國的飛機從歐洲出任務回來後,全機會布滿彈孔,但分布卻不很均勻,機身上的彈孔較多,引擎部分的彈孔卻很少。   飛機的區段   每平方英尺的彈孔數   引擎      1.11   機身      1.73   燃料系統    1.55   飛機其他部分  1.8   軍方看出了提高飛機效能的機會,可以使用較少的裝甲達成同等的保護作用,也就是把裝甲集中在飛機最需要的部分——中彈最多的區段。問題是該增加多少裝甲?又要在哪些區段加裝?軍方想請沃德幫算出答案,然而得到的結果卻大出他們預料。   沃德說,不該在彈孔多的地方加強裝甲,而是要加強在彈孔少的地方,也就是該在引擎的部分加強。   沃德的洞識在於先問一個簡單的問題:少掉的彈孔到哪裡去了?假如槍彈均勻打在整架飛機上,那麼引擎蓋上不也應該滿布彈孔嗎?沃德很確定自己知道少掉的彈孔到哪兒了,是在那些回不來的飛機上!能返航的飛機在引擎上的彈孔都很稀疏,是因為引擎遭受嚴重轟擊的飛機,根本飛不回來了。大多數安全返航的飛機,機身都像多孔瑞士乳酪,強烈顯示機身禁得起槍彈轟擊,因此不需特別加強裝甲。假如你去醫院的恢復室看看,你會發現腿上有槍傷的人,比胸部有槍傷的人更多,這並不是因為胸部不容易挨槍彈,而是胸部吃子彈的人難以存活。   數學家有套老把戲能使狀況明朗:把某些變數設定為零。在目前的例子裡,可以調整的是飛機引擎中彈後,繼續飛行的機率。把這個機率設定為零,意思是說引擎只要挨了一顆子彈,飛機就會墜落。現在數據會呈現什麼狀況?你會看到返航的飛機,彈孔分布在機翼、機身、機頭,但是就是沒有在引擎上。軍方的分析師有兩種方法解釋這種情形:德國的子彈哪裡都打就是不打引擎,或是引擎是最脆弱的地方。兩種方式都可以說明呈現的數據,不過後者有道理多了。所以彈孔稀疏的地方反而要加強裝甲。   軍方馬上把沃德的建議付諸實施,在韓戰與越戰中,海軍與空軍也持續遵守他的原則。我沒法精確告訴你,有多少美國飛機因此避免墜亡,今日美軍承繼SRG處理數據的部門,毫無疑問會很清楚真實狀況。美國國防當局從來都很瞭解,戰勝的一方並不是因為比對方更勇敢,或更自由,或更受上帝眷戀。戰勝的一方經常是少被擊落5%的飛機,或者少消耗5%的燃油,或能用95%的成本讓步兵多攝取5%的營養。這些都不是製作戰爭電影的素材,卻是打勝真正戰爭的要件。這裡面每一步都需要數學。

內文試閱

第11章:你期望贏得樂透時,是在期望什麼(摘)
  你該玩樂透嗎?   一般認為,回答不該才是精明。有句老話說,樂透是「笨人繳的稅」,是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收,你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎?   樂透吸引人並非新鮮事,它起源於十七世紀的熱那亞,是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長,他們不採用投票選舉,而是以抽籤的方式決定人選:從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久,城裡的賭徒就開始對人選投注龐大賭金。後來,對首長人選下注變得非常受歡迎,賭徒愈來愈難忍到選舉日才玩心愛的遊戲,不過他們很快就理解,如果只是對紙條堆裡挑出的紙條下注,根本就不需要靠選舉這檔事。於是數字取代了政客的名字,熱那亞從1700年起便開始舉辦樂透。當時的樂透在威力球(Powerball)玩家眼中,一定很眼熟:投注的人猜五個隨機抽出的號碼,猜中的號碼愈多,獎金愈豐厚。   樂透很快就風靡全歐洲,再飄洋過海到美洲。在美國獨立戰爭期間,大陸會議與各州政府都用樂透來籌措軍費以對抗英軍。哈佛大學基金在還沒有累積到九位數之前,也曾於1794年與1810年辦樂透,籌款興建兩幢大樓。(那兩幢大樓至今還在當新生宿舍使用。)   但並不是每個人都讚許這種發展。道德家認為樂透其實就是賭博,他們這麼想也沒有錯。亞當.史密斯(AdamSmith)也反對樂透,他在《國富論》裡說:   從樂透彩在各地都經營得很成功的事實看出,人們很自然會把獲利機會估得過高。完全公平的樂透,也就是全部得利可抵償全部損失的,不僅從來沒有過,以後也不會有。因為要是這樣,經營者就一無所得。……獎金不超過二十磅的樂透彩,縱使在其他方面比一般國營樂透彩更接近於完全公平,但買這種樂透的人恐怕要少得多。為了增加中大獎的機會,有的人會同時購買數張樂透,有的人會合買更多張。但是,你冒險購買愈多的樂透彩,你就愈可能輸,這是數學上再確定不過的定則。假若你冒險購買全部的樂透彩,你肯定會虧損。你購買的張數愈多,損失就愈接近於上述肯定的損失。   亞當.史密斯的文筆鏗鏘有力,量化思想的做法也確實令人欽佩,但是你不應該盲目相信他的結論。嚴格來說,他的結論是不正確的。一般買樂透的人,並不覺得買兩組會比一組更容易成為輸家,反而應該是有加倍贏的機會。這種想法才是正確的!當樂透的獎勵制度比較單純時,你自己都不難檢查這件事。假設樂透有一千萬組號碼,而只有一個贏家,其中每組號碼賣1元,大獎是6百萬元。   買了全部的號碼的人,是花1千萬元來獲得6百萬元獎金。換句話說,正如亞當.史密斯所說,採取這種策略注定會成為輸家,而且整整輸掉4百萬元。相較之下,僅買1組號碼的小本經營者比較有利,至少他有千萬分之一的機會可以贏!   但如果你買2組號碼會怎麼樣?你輸的機會必定會降低,雖然只是從千萬分之9,999,999降到千萬分之9,999,998。然而只要你繼續買進號碼組,成為輸家的機會就持續下降,直到你買進6百萬組號碼為止。到那時,你贏得樂透並使獎金跟成本打平的機會剛好是60%,你只有40%的機會成為輸家。這跟亞當.史密斯講的相反,你買更多樂透反倒讓自己更不容易輸錢。   然而再多買一組號碼,你就必定輸錢(至於是輸掉1元還是4,000,001元,就看你是否中獎而定)。   我們很難重新建構亞當.史密斯的推理過程,不過他很可能是「所有曲線都是直線」錯誤觀的犧牲者,才會認為既然買光所有樂透號碼必輸無疑,那麼買愈多自然愈可能輸錢。   買6百萬組號碼能使輸錢的機會降到最低,但這不表示樂透就該這樣玩,因為輸多少事關緊要。僅買一組號碼的人幾乎必輸無疑,不過他知道輸這點錢不算什麼。買6百萬組號碼的人雖然輸的機會比較低,但是處境卻岌岌可危。或許你會覺得這兩種選擇都不怎麼聰明。就像亞當.史密斯指出的那樣,如果國家必定贏得樂透,在賭局中選擇跟國家不同立場並不是好主意。   亞當.史密斯反對樂透的論點中缺乏了期望值的概念,那是亞當.史密斯直覺上試圖表達的數學概念。它的功用如下,假設我們持有一個物件,但不確定它的金錢價值,譬如說一組樂透號碼:   9,999,999/10,000,000次:號碼組一文不值   1/10,000,000次:號碼組值6百萬元   儘管有不確定性,我們還是願意賦予每組號碼一個確定的價值。為什麼?好吧,倘若有一個傢伙願意用1.2元買一組號碼,那麼我是該保留這組號碼,還是為了賺2角就賣給他呢?答案取決於我賦予號碼組的價值,是低於還是高於1.2元而定。   現在來計算一組樂透號碼的期望值,我們把任一種可能結果的出現機率,乘上那個結果的價值。在下面簡化的例子裡,一共只有兩種結果:贏或輸,而你得到   9,999,999/10,000,000x0元=0元   1/10,000,000x6,000,000元=6角   再把上面的結果加總:   0元+6角=6角   所以你對那一組號碼的期望值是6角。因此如果有樂透迷跑來對你說,願意用1.2元買你手上的那組號碼,期望值告訴你應該成交,但事實上期望值要告訴你的是,一開始就不應該花那1元去買一組號碼。   期望值不是你所期望的值   期望值是另一個不太名符其實的數學概念,有點類似前面討論的顯著性。我們當然不會「期望」一組樂透號碼才值6角,相反的它要嘛值1千萬元,要嘛一文不值,沒有居於中間的價值。   類似的例子,假設我對我認為有10%機會,會跑出第一名的狗押了10元的賭注。如果那隻狗贏了,那麼我會得到100元;如果那隻狗輸了,我就什麼也得不到。這場賭局的期望值是   (10%x100元)+(90%x0元)=10元   當然,這並非我期望的結局。其實10元根本不是可能的結果,更不是我期望的結果。期望值更恰當的名稱或許應該是「平均值」,因為期望值真正量度的是,如果我對許多隻這樣的狗押了許多次同樣的賭注,我期望發生的結果。打個比方,這種每注10元的賭局我賭了一千次,或許會贏一百次左右(大數法則再次起作用),每次都贏100元,總共贏了1萬元。所以我那一千次的賭注,每注平均贏回來的是10元,長時間看來很可能不賺不賠。   期望值很適合用來標定物件的恰當價格,例如在真正價值並不確定的賭狗場合。如果我用12元下一注,長期下去我很可能會輸錢;反過來說如果我可以用8元下一注,那我或許應該盡量下注。現在很少有人還在賭狗,但是不論是對賭票、股票、樂透定價,或為人壽保險定費率,期望值都可產生同樣的作用。

作者資料

艾倫伯格(Jordan Ellenberg)

艾倫伯格是哈佛大學數學博士、威斯康辛大學數學教授,並獲得約翰霍普斯金大學創意寫作碩士。數學主題的文章散見於《紐約時報》、《華盛頓郵報》、《連線》雜誌、《華爾街日報》,並是《石板》雜誌專欄作家。 艾倫伯格從小就是天才,兩歲就會讀書,五歲時就可以做兩位數乘法,十二歲時考SAT,數學就拿到800分滿分,現在身為數學教授的他,是數學界的超級明星,他在這本書中為讀者揭示混沌世界表像下隱藏的數學思維之美,教讀者運用數學思考的力量,做出更準確的工作與生活決策,解決日常生活的問題,這本書就是要幫助數學門外漢學習用數學思維思考問題的技能。

基本資料

作者:艾倫伯格(Jordan Ellenberg) 譯者:李國偉 出版社:天下文化 書系:科學自然 出版日期:2016-03-18 ISBN:4711225315966 城邦書號:A1500728 規格:平裝 / 單色 / 552頁 / 14.8cm×21cm
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