◆暢銷科普作家伊恩‧史都華的神奇數學世界！ ◆《大自然的數學遊戲》、《生物世界的數學遊戲》、《給青年數學家的信》作者又一力作！ 纏在一起的電話線、下不完的棋、這樣綁那樣弄的鞋帶、怎麼切都大大小小的蛋糕……，20個生活裡的科學，數學天地神奇又迷人的謎題！ 為什麼電話線總是打結？ 一個木箱最多可以放進多少瓶牛奶？ 怎麼綁鞋帶用到的鞋帶最短？ 為什麼科學家說復活節是一個準晶體？ 君士坦丁大帝如果懂得0與1程式設計，就可以挽救羅馬帝國的命運？！ 還有，更重要的，怎樣切蛋糕才不會讓你的那一半比我的這一半大？ 洗牌，洗牌，洗牌，洗牌……喔，又回到了起點，數學怎麼解釋這個撲克牌玩家的夢魘？為什麼只有極少數聰明的數學家，才能證明兩個肥皂泡泡連在一起應該變成什麼形狀？月球帝國與電子電路有什麼關係？最少需要幾種顏色才能為地圖著色？ 在本書中，史都華帶領我們穿越腦力激盪的數學世界，經歷一場不凡的旅程。我們將邂逅二十個神奇的謎題――一些是嚴肅的實際應用，其他是即使最好的數學家也感到困惑的問題――全都十分迷人又詭詐多變。 史都華是廣受歡迎的數學科普作家，他揭露了沒完沒了的棋局的奇特奧祕、瘋狂閃爍的螢火蟲，當然還有如何切蛋糕最好的爭議。從鞋帶、肥皂泡到西爾賓斯基墊片三角形，他告訴我們數學的多樣性和力量，主題從圖形、機率和邏輯、拓撲學到準晶體，無所不包。 本書二十個章節，幾乎每一章均可獨立閱讀，揭示一個你從不知其存在的數學天地。

◎前言

◎第一章  你的那一半比我的這一半大！
◎第二章  廢除平均律
◎第三章  算術與舊鞋帶
◎第四章  悖論的迷失
◎第五章  把圓沙丁魚封進錫罐裡
◎第六章  下不完的棋局
◎第七章  「Quod」遊戲
◎第八章  零知識協定
◎第九章  月球帝國
◎第十章  帝國與電子
◎第十一章  復活式洗牌
◎第十二章  雙雙泡泡，辛苦又麻煩
◎第十三章  磚窯裡的交叉路線
◎第十四章  無嫉妒的分配
◎第十五章  瘋狂閃爍的螢火蟲
◎第十六章  為什麼電話線總是糾纏在一起？
◎第十七章  無所不在的西爾賓斯基墊片三角形
◎第十八章  捍衛羅馬帝國！
◎第十九章  分成三角形後帶走
◎第二十章  復活節是一個準晶體

◎圖片出處
◎延伸閱讀

前言

◎文／史都華

　　偶爾，當我覺得異常輕鬆，思緒開始遊走時，我會好奇，如果每個人都像我一樣喜歡數學，這個世界會變成什麼光景呢。電視新聞會以最近的代數拓撲學（algebraic topology）理論來取代庸俗的政治醜聞，青少年會將數學理論排行榜下載到他們的iPod，而卡利普索（calypso）〔編注：千里達的民歌，也在加勒比群島東、南部演唱，歌詞常以詼諧的語調諷刺當地的政治和社會事件〕歌者（記得他們嗎？）會用吉他撥彈出「輔助定理三」的曲調……這倒提醒了我，1960年代末，民歌手凱利（Stan Kelly，現為凱利―布托〔Stan Kelly-Bootle〕，查看Google）在華威大學（Warwick University）攻讀數學碩士時，真的寫過這麼一首歌。歌曲是這麼開始的：

　　輔助定理三，非常漂亮，而逆定理也很漂亮，

　　不過只有上帝和費馬知道其中何者為真。

　　總之，我一向認為數學是靈感和喜悅的來源。我知道對大多數人來說，數學只會觸動恐懼，而非樂趣，不過我發現自己實在無法認同這樣的觀點。理智上，我了解數學恐懼症廣布的幾項原因：當你希望透過自己的行事風格，以幾句行話和厚顏行徑擺脫麻煩時，再也沒有比一個必須絕對要求正確和精密的主題來得糟糕的事。但情感上，我發現自己很難理解，為什麼攸關我們所居世界的這麼一個活力十足，有著如此漫長和豐富的歷史，且充滿有史以來最傑出的人類智慧的主題，無法引起興趣，迷惑人心？

　　另一方面，觀鳥人同樣無法理解為什麼其他人不能分享他們的熱情。「我的老天，那不是小鳳頭燕鷗笨蛋的求偶羽衣嗎？英國最後一隻紀錄有案的是1843年在斯凱島（Isle of Skye）發現的，那一隻部分躲在一個――噢，不好了，它只是尾巴沾有泥土的椋鳥。」沒有冒犯的意思――我蒐集石頭。「哇！真正的亞斯文（Aswan）花崗岩耶！」我們家堆滿了地球岩塊。

　　大多數人認為「數學」這個詞就是習以為常的算術，這或許無可避免。如果你會做，以某種蠢笨的想法來說，它很有趣。如果你不會，它很可怕。更甚者，假若有人拿著一支大紅筆站在旁邊，等著你出點小錯，以便跳進來攪局的話，要對某些東西――無論是數學或觀鳥――感興趣絕非易事（只是一種比喻，卻再真不過）。畢竟，朋友間一、兩個小數點算什麼？但英國國民教育課程和小亨利的理解之間的鴻溝呢，數學的諸多樂趣似乎就在古老過時的方式中遺失殆盡。多可惜啊。

　　我不是宣稱本書會對大眾的數學能力產生奇效，雖然我假設它或許可以（用哪種方式……啊，那又是另一回事了）。我試著在本書中做的是，說服那些不信邪的人。這本書是為了數學迷、數學狂熱者、積極熱愛數學的人，以及從玩樂中得到許多樂趣且始終保有一顆年輕的心的人而存在的。葛瑞爾（Spike Gerrell）可愛的漫畫強化了輕鬆的氣氛，並且完美表達討論的精神。

　　然而，我的意圖絕對嚴肅認真。

　　我原本想把這本書命名為《數學分心的武器》（Weapons of Math Distraction），這個書名對我來說有平衡嚴肅和輕鬆的作用，所以我可能得感謝行銷部門的否決。但現在這個蛋糕指向的標題也有危險性，你們有些人或許會想買這本書來獲得一些真正的烹調指導。我可不保證能做到：這是一本關於數學本質的謎題和遊戲的書，不是食譜。蛋糕只是波雷爾測度（Borel measure）的空間而已。

　　嚴重偽裝成……一塊蛋糕。數學老師教我們的不是如何做蛋糕，而是如何平均分給任何數目的人。並且――這一點難多了――不會心生嫉妒。切蛋糕可以簡單地導入數學的分配理論。就像許多入門數學，也是專家戲稱的「玩具模式」那樣，它是從真實世界的東西中徹底簡化出來的。不過它能夠讓你好好思考一些關鍵議題。例如，它凸顯了下面的情況，就是為幾個競爭團體分配資源很容易，只要依他們不同的評價方式，讓他們都認為公平即可。 　　就像之前的書《遊戲、集合與數學》（Game, Set and Math）、《我不知道的另一種有趣的數學》（Another Fine Math You’ve Got Me Into）和《數學歇斯底里》（Math Hysteria）（後者和本書一樣是牛津大學出版社〔Oxford University Press〕出版），本書內容擷取自1987年至2001年間，我為《科學人》雜誌（Scientific American）及其外文譯本撰寫的一系列數學遊戲專欄。專欄部分做了些微的調整，所有已知的錯誤已經修正，一些數量不明的新錯誤又加了進來，而讀者們的評論以「讀者迴響」為題，適切地置入章末。我回復了一些因為篇幅關係而未能出現在雜誌上的材料，所以這是一種「導演剪接（切法）」，我可以這麼說。主題從圖形（graph）到機率，從邏輯到極小曲面（minimal surface）〔編注：所有點的平均曲率（mean curvature）為0的曲面〕，從拓撲學到準晶體（quasicrystal）〔編注：狀態介於非結晶的玻璃態固體（特殊形態的金屬和其他礦石，以及普通玻璃），與具精確晶格的晶體之間光子的原子型物質〕。當然，少不了蛋糕的分配。它們泰半以娛樂價值，而非重要性作為抉擇的要件，所以請不要把內容想像成研究新領域當前活動的完整代表。

　　然而，它的確反映了研究新領域當前的活動。切蛋糕這個熱門議題是悠久數學傳統的一部分――至少可回溯至三千五百年前的古巴比倫――一種從微不足道的東西中挖掘嚴肅議題的傳統。於是就像本書一樣，當你讀到「為什麼電話線老纏在一起？」時，題目本身不只是用來整理如老鼠巢穴般的電話線圈。最好的數學有一種好奇的本質，所以某個簡單的問題衍生出的想法才能解釋其他許多問題。在真實世界中，許多東西扭轉和旋轉：電話線、植物卷鬚、DNA分子、海底電纜。這四種扭轉和旋轉的數學用途，有著許多截然不同的基本特性：如果電信工程師拿走你的電話線，換上一截旋花植物，你一定會大為光火。不過它們也共同具有一個很有用的特性：一個簡單的數學模式在它們身上發光發熱。它或許無法回答每個你想回答的問題，它或許忽略掉一些重要的實質議題，但一個簡單的模式一旦開啟了數學分析的大門，那麼更複雜、更精細的模式就能以此為基礎發展出來。

　　在本書中，我旨在利用抽象思維和現實世界的混合體，激發各種數學構想。對我來說，收穫不在於實際解決現實世界的問題。主要的收穫是新的數學。少少幾頁不可能發展出數學上的重大用途，但對任何有足夠想像力的人來說，可以欣賞到一個數學構想如何從一種東西出發，出乎意料地應用於一種不同的東西。本書中的最佳範例或許是「帝國」與電子電路（electronic circuit）的連結。一個關於地球和月球的地圖著色奇怪假設謎題（第九章），可實際應用來測試電子電路板瑕疵這個重要問題（第十章）。重點是，數學家一開始是從微不足道的來源（雖然不像這裡舉的例子那麼微不足道），偶然得出中心構想，進而發現它的用途非同小可。

　　還有另一種方式。第十五章受到一些亞洲螢火蟲引人注目的行為啟發，那裡的雄性螢火蟲同步發出閃爍的光–—或許是為了改善牠們吸引雌性的集體能力，而非個別能力。為什麼閃爍會同步呢？這裡重點出現了，數學指出問題所在並提供至少部分解答，而後者又更清楚地告訴我們，相同的數學可以應用在其他許多關於同步的問題。我的方法是將整件事轉化成你可以玩的方格板遊戲。繞個彎來說：關於那個遊戲一些看似簡單的問題尚未獲得解答。某種意義來說，我們對實際應用的了解，遠勝於簡單模式本身。

　　除了極少數例外，本書每一章均可獨立成篇。你可以從任何地方切入，如果卡住了，不管原因為何，都可以放棄那一章，改讀其他章節。你的獲益是――我宣稱――充分了解數學主題的寬廣，以及可以比在學校學到的多出多少，對數學的廣泛用途感到訝異，還有將整個主題整合成單一、驚喜有力的一套東西的驚奇跨領域連結。所有這一切將透過解謎和玩遊戲來達成。

　　還有，更重要的是，藉由多動腦來完成。

　　永遠不要低估玩耍的力量。

第一章　你的那一半比我的這一半大！

如果兩個人想毫無爭議地分享一塊蛋糕，那麼解決辦法向來是「我切你選」。如果多於兩個人想分這塊蛋糕，問題就複雜多了，而且人愈多愈難處理。除非你用一把慢慢移動的刀子，抽絲剝繭切開那些難處……和那塊蛋糕。

　　一個大塊頭和一個小個子坐在某列火車的餐車車廂，兩人都點了魚。當侍者上菜時，竟然是一大一小的魚。侍者先端給大塊頭選，他馬上搶了那條大的；小個子抱怨說，這實在太不禮貌了。

　　「那麼，如果讓你先選，你會怎麼做呢？」大塊頭以讓人惱怒的語氣問道。

　　「我會很有禮貌，選小的那一條。」小個子調侃地回答。

　　「那好，這就對了，小的歸你啦！」大塊頭回敬道。

　　就如這個老笑話所言，不同的人在不同環境下會有不同的想法，有些人總是難以滿足。過去五十年間，數學家一直在這類公平分配的問題中掙扎斡旋――通常用蛋糕而不是魚來說明――直到現在總算有了一個周延且相當深入的理論。羅伯森（Jack Robertson）和韋伯（William Webb）引人入勝的著作《切蛋糕分法》（Cake Cutting Algorithms）（詳見書末「延伸閱讀」）中，對這類問題做了全面的探討。在本章和第十四章，我們將一窺這些看似簡單，而且讓大家都滿意他們分得的那份蛋糕的分法。

　　最簡單的情形是只有兩個人來分，他們――一再重申――想分享一塊蛋糕，而且要能滿足於自己公平分到的那一份。這裡所謂的「公平」是指「比我評估的一半還多」，儘管兩位接受者對蛋糕成分的評價可能不盡相同。例如，愛麗絲可能喜歡櫻桃，而鮑伯偏愛糖霜。更令人玩味的現象之一是，在切蛋糕理論中，如果接受者對蛋糕部位的喜好不同，分蛋糕的工作比較容易。這一點也不讓人意外，因為我們可以分給鮑伯糖霜的部分，把櫻桃那個部分給愛麗絲，然後得到兩全其美的結果。如果兩人都喜歡糖霜，問題的難度就變高了。

　　如果只有兩位接受者，問題還好解決。這種「愛麗絲切，鮑伯選」的解決方式，已經運作了兩千八百年！兩位參與者之所以認為這種方式還算公平，某種意義上是因為他們沒有抱怨結果的理由。如果愛麗絲不喜歡鮑伯選剩的部分，只能怪她自己分蛋糕的時候不夠謹慎，沒好好地（根據自己的評估）平分。如果鮑伯不喜歡他的部分，是他自己做了錯誤的選擇。

　　當參與分配的人增加到三位，整個情況開始變得有趣多了。湯姆、迪克和哈利想分一塊蛋糕，讓彼此都滿意自己分到的至少1/3塊蛋糕，憑藉各自的價值判斷來決定。順道說明，在所有這類問題中，都假設蛋糕可以無限分割，雖然在理論上，蛋糕多是由有價值的「原子」組成――一個至少有一位接受者認為它是非0值（non-zero value）的點。不過為了簡化，我會假設沒有「原子」存在。羅伯森和韋伯藉由分析一個似是而非的答案來處理這個變化，推演過程如下：

　　步驟一：湯姆把蛋糕切成X和W兩塊，他認為X有1/3這麼大，W是2/3大。

　　步驟二：迪克把W切成Y和Z兩塊，他認為兩塊各占W的1/2。

　　步驟三：哈利從X、Y和Z中選擇喜歡的一塊。然後湯姆從選剩的兩塊中挑選。

　　最後剩下的那一塊是迪克的。

　　這種分法公平嗎？

　　顯然哈利會很滿意，因為他有優先選擇權。湯姆也很滿意，原因稍微複雜了點。如果哈利選擇X，則湯姆可以從Y和Z中選擇一塊他認為比較有價值的（如果他看來兩塊等值，就隨便挑一塊）。既然他認為它們總值是2/3，必定覺得其中至少有一塊值1/3。另一方面，如果哈利選擇了Y或Z，則湯姆可以選擇X。

　　然而，迪克可能不會滿意結果。如果他一開始就不贊同湯姆的第一次切法，可能認為W不值2/3，這意味著能讓他滿意的只有X那塊。但如果哈利選擇了Y，湯姆選擇了X，那麼迪克只剩Z可拿――這可不是他想要的。

　　於是上述分法是不公平的。1944年，波蘭數學家團體成員之一的史坦豪斯（Hugo Steinhaus），率先提出三人公平分配蛋糕的正確解答。這個團體的成員定期在利沃夫（Lvov）一家咖啡館聚會。史坦豪斯的方法應用了一種稱為「修減法」（trimming）的手法。

　　步驟一：湯姆把蛋糕切成X和W兩塊，他認為X有1/3這麼大，W是2/3大。

　　步驟二：他把X交給迪克修整，如果迪克認為它的大小多於1/3，那麼他可以將這塊蛋糕修成他認為的1/3；否則原封不動。我們稱這塊得到的蛋糕為X*：它不是等於X，就是小於X。

　　步驟三：迪克把X*交給哈利，讓哈利決定要不要這塊。

　　步驟四：（a）如果哈利接受了X*，那麼湯姆和迪克將剩下的蛋糕――W加上任何從X修減下來的部分――堆成單一一堆（糊糊的）蛋糕。他們用它來玩「我切你選」的遊戲。（b）如果哈利不接受X*，且迪克修減過X，則迪克拿X*，湯姆和哈利玩剩下的蛋糕的「我切你選」。（c）如果哈利不接受X*，且迪克沒有修減過X，則湯姆拿X，迪克和哈利玩剩下的蛋糕的「我切你選」。 　　這是一項解答――至於它的邏輯，就交由你去證明。基本上，任何不滿意所得那塊的人一定是一開始做了錯誤的選擇，抑或切割時沒有仔細評估。那也只能怪自己了。

　　1961年，杜賓斯（Leonard Dubins）和史班尼爾（Edwin Spanier）提出一個迥然不同的解答，運用一把移動刀。把蛋糕擺在桌上，用一把刀從蛋糕的最左邊開始，平穩地逐步橫過蛋糕。決定下刀時，刀子左邊部分的蛋糕稱為L。當L達到湯姆、迪克和哈利各自認為的1/3大小時，依規定他們得馬上喊「停！」。第一個喊停的人得到蛋糕L，其餘兩人要嘛以「我切你選」的方式分蛋糕，要嘛再次移動刀子，直到某人認為蛋糕值達1/2時馬上喊停，得到此份蛋糕（想想看，如果兩人同時喊停，該怎麼辦呢？）。

　　這種分法的最大特色是，它可以輕易擴及n位分配者。移動刀子橫過蛋糕，並規定每一位分配者依各自的評價，在L達到1/n時馬上喊停。第一個喊停的人得到蛋糕L，而其餘n－1個參與者針對剩下的蛋糕重複上述程序，當然這次喊停時的蛋糕評價值為1/（n－1）……依此類推。

　　我向來不特別偏愛移動刀的分法――我想是因為這牽涉到參與者對時間差的反應能力。避免這種爭論的最佳方法，或許是把刀子的移動速度放慢。非常慢。或者，對等地，假設所有參與者都有超快的反應能力。

　　讓我們稱第一種解答為「固定刀」分法，第二種為「移動刀」分法。運用於三人參與的固定刀分法，也能輕易擴及n位參與者。當湯姆正獨自坐著凝視「他的」蛋糕時，迪克出現了，想分塊蛋糕。於是湯姆把蛋糕切成他認為的兩等份，而迪克選了其中一塊。當他們正要開始享用時，哈利來了，也要求平分蛋糕。湯姆和迪克各自將自己的蛋糕切成三等份，他們認為每一份是等值的。哈利從湯姆和迪克的蛋糕中各選一份。為什麼這種「連續式配對」的分法行得通，道理並不難懂，能擴大運用到任何數目的參與者的箇中原因相對容易明白。修減法也可以擴大運用至n個參與者，但必須在座每一位參與者都有機會修減一塊蛋糕到他能接受的結果，如果再沒有其他人想修減，那麼他就得到這塊蛋糕。

　　當分蛋糕的人很多，連續式配對的分法需要切非常多刀。何種分法才能切最少刀呢？移動刀分法需要切n－1刀，以得到n塊蛋糕，這就是你能得到的最小數目。但固定刀分法的下刀次數就沒那麼容易計算了。假設有n個人，一般來說用修減式分法要切（n²－n）/2次。連續式配對分法需要n!－1次，這裡n!＝n（n－1）（n－2）…3.2.1就是n的階乘（factorial）。這個數目遠大於修減式分法需要的次數（n＝2時除外）。

　　然而，修減法不是最好的方法。較有效率的「分割與獲得」（divide and conquer）分法，進行方式大致如下：試著一刀切開蛋糕，讓約半數的人願意獲得一塊公平分配的蛋糕，而其他人願意獲得另一塊。然後把相同的模式重複運用在兩塊分開來的子蛋糕。這種分法所需的切割次數大約是n log2 n。正確的公式為nk－2k＋1，這裡的k是一單一整數，而2k－1＜n≦2k。這大概是你能運用的最佳方式了。

　　這些概念最終不只是為了好玩而已。現實生活中常見的重要課題是，以何種方式來分配資產，讓所有參與分配的人覺得公平。領土和商業利益的協商就是例子。原則上，切蛋糕問題的解決方法可以應用於這類情況。的確，當德國戰敗後，由同盟國（美國、英國、法國）和蘇聯共同瓜分託管，第一次嘗試分割後剩下柏林，然後柏林再做另一次瓜分，所以協商者直覺地用了類似的分法。某種相當類似的處理方式造成今日以色列和巴勒斯坦間的緊張關係，搶著爭食主要的耶路撒冷「廚餘」和另一個爭議的焦點西岸（West Bank）。數學上的公平分配能在協商時幫上忙嗎？非常慶幸地，我們活在一個有足夠理性來處理這類事情的世界，但政治往往不是這麼回事。特別是，人們對事情的價值判斷很容易在達成暫時性的協議之後改變；如果這樣，我們之前的討論就等於白談了。

　　不過，還是先以理性的方式試試看，說不定行得通呢。

讀者迴響

　　我收到許多關於切蛋糕分法的信件，內容從我討論的切法的簡化到嶄新的實質研究都有。有些讀者試圖消除我對「移動刀」分法隱約的不安感。我擔心的是反應時間的快慢。避免這個問題的建議是――經過一些書信往來後，稍微做了修改――利用參與者在蛋糕（或比例模型〔scale model〕）上做記號的方式，代替移動刀。首先，選定一個方向（假設是北南向），然後輪流要求n位參與者中的每一個人，在蛋糕上最西邊的部分畫一條北南向的線，在線以西的蛋糕是他們想要的（也就是說，他們估計線左邊的那塊蛋糕值1/n）。誰的線在最左邊，誰就切下那一小塊拿走，並退出分配。以同樣的方式繼續執行下去。於是由西往東的依序切割取代了計時，而相同的作法適用於所有移動刀分法。

　　如此看來，我對移動刀分法的保留是多餘的。可是沒多久，紐約大學的布姆斯（Steven Brams）――這類問題的專家――撰文指出，我先前的憂慮不是那麼容易去除。布姆斯、泰勒（Alan D. Taylor）和茲維克（William S. Zwicker）分析移動刀設計的兩篇論文，特別列於「延伸閱讀」。他們的第二篇論文顯示，在有四位參與者的一個無猜忌分配移動刀步驟中，最多只需要切十一刀。

　　然而，針對四位參與者，並限定切割次數（不管次數多麼多）的離散處理方式尚未出現，或許這種方式根本不存在。顯然他們不能以蛋糕上有想像的「記號」的方式，做出這樣離散的設計。所以用「記號」的方式來簡化移動刀的設計，適用於某些情況――但不是所有情況。

第二十章　復活節是一個準晶體

復活節落在春分當天或春分之後出現第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天，春分依慣例是3月21日，甚至可能不是這一天……還有那不是真的月亮，而是教會定義的……噢，管它那麼多，只要知道耶誕節是哪一天就行了。

　　我為《科學人》雜誌所寫的第一個娛樂性數學專欄，就是關於費馬的耶誕節定理。隨著復活節即將到來，利用我的第九十六篇，也是最後一篇專欄來寫復活節似乎是唯一合適的選擇。本章就是根據那篇最後的專欄寫就的。

　　耶誕節總是在12月25日，所以算出耶誕節的日期毫無困難……但復活節就完全不是那麼回事了。復活節可以是3月22日至4月25日間的任何一天，其間長達五個星期。早期的基督教會設計了自己的方法，計算復活節的日期。

　　至於數學家的行動，要從公認歷史上最偉大的數學家高斯，發明了一套只需要知道相關年分的簡單規則開始。不幸的是，高斯的研究有一個小失誤，所以根據他的規則算出4200年的復活節是4月13日，正確日期應該是4月20日。他親自在自己那份已出版的論文上更正了這個錯誤。

　　1876年，一個匿名的美國人在科學期刊《自然》雜誌，提出第一個正確的純粹數學程序。1965年，歐拜恩（Thomas H. O’Beirne）在其著作《謎題與悖論》（Puzzles and Paradoxes）中發表了兩則這類程序，下面我會描述其中一則。較近期的是，晶體學家麥凱（Alan MacKay，倫敦大學學院）注意到，復活節是一個時間準晶體（time-quasicrystal）――一種謎樣的說法，稍後我也會解釋。

　　復活節日期逐年變化有一些歷史因素。首先，它必須在星期天，因為耶穌在星期五被釘在十字架上，然後星期天復活。它和猶太人逾越節的時間的關聯，意味著復活節應該與逾越節密切相關，逾越節的慶祝活動是在春天第一個月圓開始的一星期。

　　因此，復活節的日期與幾個不同的天文週期有關，這也是真正困難之處。朔望月（lunar month）〔編注：月亮從朔到朔或從望到望的週期，朔是農曆每月初1，看不見月亮；望是農曆每月15、16或17日，滿月〕現在約29.53天，而太陽年（solar year）〔編注：地球在公轉軌道上對春分點運行一周的時間〕是365.24天。也就是一太陽年有12.37個朔望月，這種關係多不方便啊，因為它不是一個整數。換算一下，兩百三十五個朔望月非常接近十九個太陽年，而教會確定復活節日期的系統利用了這種巧合。

　　325年的尼西亞大公會議（Council of Nicaea）決議，復活節應該落在春分當天或春分之後出現第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天。春分是3月晝夜等長那一天：9月秋分時晝夜再次變得等長。此外，依慣例春分會在3月21日。然而，正如我們將看到的，這只是複雜歷史中一個關鍵的事件。閏年有時會讓真正的春分落在3月22日：這種可能性可以忽略。當時是以儒略曆（Julian calendar）計年，每四年有一個閏年；要經過整整十九個儒略年（一儒略年有365.25天）才會再有月圓。換算成慣用的朔望月曆法，這段期間等於兩百三十五個二十九天或三十天的朔望月（有時在閏年是三十一天）。這個週期剛好每七十六年重複一次――四個十九年的週期，經過這段時間，閏年的模式會重複。這裡的數學原理是，兩個不同整數長度的週期在兩者都回到它們原來的位置之前，必須重複的次數等於兩者的最小公倍數，而76是19和4的最小公倍數。

　　這個十九年的期間稱為月運週期（lunar cycle），而在月運週期中是以所謂黃金數來表示年的位置，黃金數從1開始到19，然後再重複從1開始。復活節的日期是以五百三十二年的週期重複。

　　這是一個井然有序的系統，但不幸的是，數學沒有準確遵循朔望月和太陽年的真正長度，而且隨著時間過去，曆法開始與季節脫離關係（著名作家但丁〔Dante Alighieri〕指出，最終1月將不再是冬天的一部分）。討論持續超過千年，直到1582年，教宗格列高利十三世（Pope Gregory XIII）改革了民曆，刪除100的倍數的閏年，只留下400的倍數的閏年（2000年就是一例）。為了改正先前與季節的脫勾，刪除了該年10月4日至15日之間的十天。

　　格列高利接受天文學家克拉維烏斯（Clavius）的建議，很少相關現象能逃過克拉維烏斯的注意。除了黃金數，教會的計算程序包括一個稱為epact的第二計量，它是1到30之間的一個整數，以日為單位，度量月亮的假定年齡（始於0＝30＝新月），緊接著相關年分的1月1日起算。每個世紀伊始，epact的週期都會修正，但黃金數的週期毫無差錯地繼續下去。擇定epact等於改正了儒略曆的錯誤，也修正了兩百三十五個朔望月並未剛好等於十九個太陽年的事實。這類改正沒有發生在1900年、2000年或2001年，但2002年就派得上用場。

　　這個系統是折衷方案。天文學上真正的春分最早可能出現在3月19日――2096年會發生――或在非常晚的3月21日，1903年便是如此。1845年和1923年，在世界上多數地區，天文月圓發生在復活節的星期天，而在東經地區則發生在復活節後的星期一。1744年，有一次月圓發生在復活節星期天之前八天的星期六，只有那些在極西經的地區月圓發生在星期五。

　　真正的月亮不會屈從於教會公約。

　　為了完成它的計算，教會利用一套字母系統，以ABCDEFG代表一星期七天，以1月1日為A開始。每年都有一個主日字母（dominical letter），視哪個字母代表星期天〔編注：若1月1日是星期天，該年的主日字母就是A；若1月2日是星期天，該年的主日字母是B，依此類推〕。因為所有其他計算法都忽略閏年的2月29日（就這些目的而言，它視同3月1日），在閏年會有兩個主日字母――一個字母用於1月和2月，另一個字母用於其餘月分。利用所有這些資訊，就可能為任一給定年分列出相關年曆表，並找出復活節的日期。

　　歐拜恩的方法納入各種週期，並調整為一個算術組合，現在我會說明這種方法，把它運用在2001年的情況。 　　讓我們把格列高利曆的年分設為x。現在算出下面十個計算程序（很容易寫成電腦程式）：

　　1.x除以19，得到一個商（予以忽略）和一個餘數A。

　　2.x除以100，得到一個商B和一個餘數C。

　　3.x除以4，得到一個商D和一個餘數E。

　　4.8B＋13除以25，得到一個商G和一個餘數（予以忽略）。

　　5.19A＋B－D－G＋15除以30，得到一個商（予以忽略）和一個餘數H。

　　6.A＋11H除以319，得到一個商M和一個餘數（予以忽略）。

　　7.C除以4，得到一個商J和一個餘數K。

　　8.2E＋J－K－H＋M＋32除以7，得到一個商（予以忽略）和一個餘數L。

　　9.H－M＋L＋90除以25，得到一個商N和一個餘數（予以忽略）。

　　10.H－M＋L＋N＋19除以32，得到一個商（予以忽略）和一個餘數P。

　　則復活節的星期天是第N月的第P天（3＝3月，4＝4月）。

　　此外：黃金數是A＋1，而epact是23－H或53－H中介於0與30之間者。2E＋2J－K除以7，然後取其餘數，就能得到主日字母。然後0＝A，1＝B，2＝C，依此類推。

　　我們用x＝2001試算這個方法。則（1）A＝6；（2）B＝20，C＝1；（3）D＝5，E＝0；（4）G＝6；（5）H＝18；（6）M＝0；（7）J＝0，K＝1；（8）L＝6；（9）N＝4；（10）P＝15。所以2001年的復活節是4月15日。

　　大致說來，這十個步驟有下列作用：

　　1.找出該年在19-年週期中的位置（事實上，A＋1就是這一年的黃金數）。

　　2.格列高利曆的閏年規則：每個世紀年（100的倍數年）B增加1。

　　3.D只在世紀年才會增加，E代表不是閏年的世紀年數。

　　4.G是根據epact做的月分更正。

　　5.H相當於epact（23－H或53－H中介於0與30之間者）。

　　6.M處理關於epact的一個特殊情況。事實上，M＝0，除非H＝29（當M＝1且epact是24），或H＝28且A＞10（又當M＝1）。

　　7.開始計算復活節月圓的星期天。處理一般閏年的問題。

　　8.從epact導出月圓的日期。

　　9.算出復活節的月分。

　　10.算出復活節在那個月的日期。

    一般來說，復活節的日期會逐年晚上八天，但有時也會因為各種影響（閏年、月亮的週期，諸如此類）而提前，以一種看似不規則卻其實遵循上述算術程序的方式進行。麥凱了解這種近規則的（near-regular）後退情況應該用一個圖表顯示出來，圖表呈現年分與復活節日期的對應（圖65）。結果近乎一個規則晶格（regular lattice），有如一個晶體的原子晶格（atomic lattice）（麥凱是晶體學家）。然而，這個曆法的特性讓日期與晶格相較略有差異，所以這個圖式是一個準晶體。

圖65  1950年至2010年的復活節準晶體

左座標由上到下→
4月25日
4月20日
4月15日
4月10日
4月5日
3月31日
3月26日
3月21日

　　準晶體不如晶體（它們的原子形成一個精準的晶格）那麼規則，但決不隨意。
準晶體的發現與在平面上鋪磁磚的奇特方式有關，而這項發現來自牛津大學物理學家彭羅斯（Roger Penrose）。鋪磁磚時用了兩種形狀的磁磚，剛好鋪滿平面，但沒有週期性地重複同樣的圖樣。準晶體的原子有同樣的準規則性（almost regularity）。

　　由於使用格列高利曆法，復活節日期的週期要在整整五百七十萬年之後才會重複：這是70,499,183個朔望月和2,081,882,250天。雖然遠在第一次重複之前，這個曆法就會脫離相關的天文事實。無論如何，月和日的長度正緩緩改變，主要是因為潮汐摩擦力（tidal friction）的關係。

　　其他因素也可能造成改變。1928年，英國國會做了一項決議，如果相關宗教權威人士同意，可以把復活節的日期固定在4月第二個星期六之後的第一個星期天，日後不會再有爭端。果真如此，未來復活節或許會好算多了。儘管在此之前，它是一個天文週期整數近似值的絕佳範例，具足了本身有趣的幾何解釋。而你可以編寫復活節規則的公式，然後找出解答，例如1,000,000年的復活節是哪一天呢？相信一定樂趣十足。
 
〔答案：4月16日，和2006年一樣。〕

作者：伊恩・史都華(Ian Stewart) 譯者：陳品秀 出版社：臉譜 書系：科普漫遊1 出版日期：2009-11-09 ISBN：9789862350683 城邦書號：FQ1019 規格：膠裝 / 單色 / 264頁 / 14.8cm×21cm